WIELOMIAN Z CIĄGIEM Saper: Cześć, treść zadania jest taka: Dany jest wielomian W(x) = x³ + bx² − cx + d. Ten wielomian ma trzy pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny o różnicy 4. W(6) = − 15. Wyznacz pierwiastki wielomianu. Zacząłem od: w(x) = (x−a)(x−(a+4)(x−(a+8)) potem podstawiłem tę 6 za x, pamiętając że to się równa 15. W(6) = (6−a)(2−a)(−2−a)= −a³ +6a² + 4a −24 = −15, więc: −a³ +6a² + 4a − 9=0, dalej znajduję pierwiastek w(1) = 0 pozostaje (a−1)(−a² +5a +9), liczę deltę z tego drugiego i wychodzą jakieś czary. na pewno, jeżeli a₁ = 1, to wielomian się zgadza bo wtedy w(x)=(x−1)(x−5)(x−9), co dla 6 daje −15. Co z tymi pierwiastkami z delty? Liczę na pomoc.

Saper: podbijam

PW: W(6) = (6−a)(2−a)(−2−a) = −(a−2)(a+2)(a−6) = −(a²−4)(a−6) −(a²−4)(a−6) = −15 ⇔ (a²−4)(a−6) = 15. Widać, że a=1 jest rozwiązaniem, bo (−3)•(−5)=15. Pierwiastkami wielomianu W są więc a=1, a+4 = 5 i a+8 = 9. Na razie się zgadzamy. a³−6a²−4a+9 = 0 (a−1)(a²−5a−9) = 0 Δ = 25+36 = 61 − niestety −

	5−√61		5+√61
a1 =		, a2 =
	2		2

Dla takich a też będzie W(6) = −15, więc nie ma wyjścia, a₁,a₁+4 i a₁+8 oraz a₁, a₂+4, a₂+8 też są rozwiązaniami. Są zatem trzy wersje odpowiedzi (trzy różne wielomiany osiągające wartość −15 dla x=6 i mające pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny o różnicy 4).

Saper: dzięki serdeczne, tak myślałem, ale wolałem się upewnić