równania i nierówności z wartością bezwzględną Ania: Czy mógłby ktoś krok po kroku, nie robiąc przeskoków myślowych wyjaśnić mi jak należy rozwiązywać takie zadania? a) |x³ − x| + x² −1=0 b) |x³−8| > x² +2x +4 Byłabym bardzo wdzięczna.

Hajtowy: z definicji wartości bezwzględnej, znasz taką?

Ania: Robiłam prostsze przykłady, ale jak zaczynają się tego typu to nigdy nie wiem co i jak, więc chciałabym żeby ktoś to pokazał na takich przykładach, bo w ten sposób zawsze łatwiej zrozumieć

Bizon: ... niemal z definicji wartości bezwzględnej a) |x³−x|=−x²+1

Ania: czyli będzie x³ − x = −x² +1 (lub czy i w tym miejscu? ) x³ − x = x² −1 ? poprawnie?

Ania: i czy nie powinno przyjąć się jeszcze jakiś przedziałów, w którym dane równanie rozwiązujemy

Ania: Mógłby ktoś chociaż wytłumaczyć mi jak rozwiązać tą nierówność, bo ja naprawdę tego nie rozumiem

H2O: dobra spróbuje

H2O: to robiłem zawsze tak : |x³−x|+x²−1=0 |x(x−1)(x+1)| +x²−1=0 teraz trzeba ogarnąc co sie dzieje z wartoscia bezwzględną, widzimy ze dla ; x∊<−1,0> u <1,+∞) wyrazenie pod wartoscia bezwzgledna jest wieksze badz rowne od zera ( po narysowaniu wezyka to widac ) a dla x∊(−∞,−1)u(0,1) wyrazenie jest ujemne ; czyli rozpatrujemy dwa przypadki; zatem mamy cos takiego ; 1*) dla x∊<−1,0> u <1,+∞) teraz dla dodatnich opuszczamy wartosc bezwzgledna i mamy x³−x+x²−1=0 i teraz pamietaj o tym ze dzialasz na liczbach z takiego zbioru {<−1,0> u <1,+∞)} wiec jak ci wyjdzie ze x=−500 to tego nie uwzgledniasz w odpowiedzi bo x musi sie zawierac w tym przedziale . 2*) analogicznie dla x∊(−∞,−1)u(0,1) masz −(x³−x)+x²−1=0 {teraz trzeba bylo zmienic znak przed wyrazeniem z wartoisci bezwzglefnej bo wyrazenie pod nia jest ujemne dla x ze zbioru na ktorym dzialamy czyli (−∞,−1)u(0,1) i tak samo rozwiazujesz i patrzysz co ci wyszlo jak liczba zawiera sie w przedziale to jest rozwiazaniem a jak nie to nie uwzgledniasz na koniec sumujesz rozwiazania z obydwoch przypadkow , tak samo robi sie przyklady z nierownosciami ,tylko tam w odpowiedzi dotaniesz jakis przedzial

Ania: dziękuję Ci bardzo Mam jeszcze tylko jedno pytanie, jak jest znak "<" lub ">" to gdy pozbywam się wartości bezwzględnej to kiedy on się zmienia?

H2O: on sie nie zmienia tylko kazdy stosuje skrót myslowy a dzieje sie tak np masz tak'; |x+1|>1 wiec wg zasady rozbijamy na dwa przypadki 1*) dla x∊(−∞;−1) mamy zatem −(x+1)>1 czyli −1>(x+1) 2*) dla x∊<−1;+∞) masz tak x+1>1 wiec mamy (x+1)>1 oraz (x+1)<−1 nic sie nie zmienia

pigor: ..., no to mój "skrót myślowy", aby nie być posądzany o gotowiec, np. taki : a) |x³−x|+x²−1= 0 ⇔ |−x(1−x²)|= 1−x² ⇔ |−x|(1−x²)−(1−x²)= 0 i 1−x² ≥0 ⇔ ⇔ (1−x²)(|x|−1)= 0 i x²≤ 1 ⇔ (x²=1 lub |x|=1) i |x|≤ 1 ⇔ ⇔ |x|=1 i |x|≤ 1 ⇔ |x|=1 ⇔ x= ±1 ⇔ x∊{−1,1} . ...

pigor: ..., ponieważ x²+2x+4 >0 ∀x∊R, więc np. tak : b) |x³−8| > x²+2x+4 ⇔ x³−8< −x²−2x−4 lub x*3−8 > x²+2x+4 ⇔ ⇔ x³+x²+2x−4< 0 lub x³ > x²+2x+1+11 >0 ⇔ ⇔ x³−x²+2x²−2x+4x−4 < 0 lub x³ > (x+1)²+11 ⇔ ⇔ x²(x−1)+2x(x−1)+4(x−1)< 0 lub x∊∅ (tak "widzę" z ilustracji graficznej) ⇒ ⇒ (x−1)(x²+2x+4) < 0 ⇔ x−1< 0 ⇔ x< 1 ⇔ x∊(−∞;1) . ...