analiza :) PuRXUTM: Wyznacz kresy (=supremum i infimum) następujących zbiorów:

	1
{		: n∊N}
	n

wq mnie sup=1 inf=0 dobrze to się liczy jakoś ze wzoru czy po prostu zgaduje

	(−1)n
{		: n∊N}
	n

	1
sup=
	2

inf=−1

	sin(nπ/2
{		: n∊N} (naturalne są tutaj od 0 czy od 1 )
	n+1

	1
sup=1/2 inf=−
	4

	n+1
{		cos(nπ/2): n∊N}
	n

sup=1 inf=−1 i jeszcze mam przykład {sin n: n∊N} z dopiskiem "trudne" pomożecie ?

PuRXUTM: up

PuRXUTM: up

wredulus_pospolitus: teoretycznie trzeba wykazać wprost z definicji w praktyce to: jeżeli ciąg jest monotoniczny i zbieżny to bierzesz pierwszy element ciągu oraz granicę jeżeli ciąg jest kawałkami monotoniczny i zbieżny to bierzesz element minimalny, maksymalny i granicę (i z nich wybierasz) jeżeli ciąg nie jest monotoniczny, ale jest zbieżny to tak jak wcześniej jeżeli ciąg jest ograniczony −−− to masz ograniczenia jeżeli ciąg jest rozbieżny −−− to brak inf i/lub sup

Krzysiek: jak dla mnie a)ok b)ok c) to zależy jak miałeś podane na wykładzie, bo to różnie się definiuje. ok.

	3
d)źle, dla n=2, masz −		<−1
	2

podobnie dla dodatniej wartości. e)a to przecież nie będzie −1 i 1 ?

PuRXUTM: Krzysiek przy e to nie będzie −1,1 bo n∊N a nie do rzeczywistych mamy sin1, sin2, sin3, ...

PuRXUTM:

	n
sory Krzysiek w d ma być		... czyli chyba dobrze obliczyłem ale źle przepisałem tutaj
	n+1

polecenie, nie ?

Krzysiek: d) to ok. a co do e) to zapomniałem,że jeszcze jest warunek: ∀ε>0 ∃a∊A a>s−ε gdzie s to sup(A)....więc może to nie zachodzi gdy n∊N

Maslanek: No tak. Ale możemy wziąć ciąg zbieżny do 1. Na pewno pośród tych sin1, sin2, sin3 ... znajdziemy podciąg f(x_n) ściśle niemalejący i ograniczony, zatem i zbieżny. Wtedy mamy f(x_n)∊(0,1). Można udowodnić, że jeśli ciąg (a_n) jest ograniczony i niemalejący, to jego g=sup a_n.