równanie z parametrem ktosia: hej wiem że jest już późno i ciężko się myśli ale gdyby tak ktoś mógł mi pomóc to zrobić nie chodzi mi wynik tylko sposób, pomysł jak rozwiązać to zadanie bo sama myślę i myślę i nic mi do głowy nie przychodzi... zadanie: dla jakich wartości parametru m równania (2m−1)x²+6mx+1=0 i mx²−x+1=0 mają wspólne pierwiastki

Lorak: Na pewno wspólne pierwiastki, a nie wspólny pierwiastek ?

ktosia: pierwiastki na pewno

ktosia: chyba że nauczyciel źle podyktował zadanie tak czy tak nie mam pojęcia jak się do tego zabrać

ktosia: chyba że nauczyciel źle podyktował zadnie tak czy tak nie mam pojęcia jak się do tego zabrać

Lorak: Jeśli mają mieć wspólne pierwiastki, to wydaje mi się, że autorowi chodzi o 2 wspólne pierwiastki, czyli nie trzeba rozpatrywać co się dzieje, gdy nie ma funkcji kwadratowej. Na początek proponuję policzyć deltę.

Lorak: później trzeba by kolejno przyrównywać wzory na pierwiastki równań... masakra.

ktosia: "masakra" jest bardzo pocieszające....

Lorak: ciężko się myśli o tej porze. może obędzie się bez przyrównywania tych wzorów na pierwiastki.

Lorak: może tak: jeden z przypadków kiedy będą miały wspólne pierwiastki, to wtedy kiedy się wykresy pokryją. czyli wystarczyłoby Δ₁>0 i Δ₂>0 i przyrównać współczynniki 2m−1=m 6m=−1

ktosia: ok to rozumiem, ale skoro to jeden z przypadków to zapewne musi być też jakiś drugi...

Lorak: drugi to byłby kiedy jedna ma ramiona w górę, a druga w dół, współrzędne x_w te same, zaś y_w będące przeciwnymi liczbami −tak mi się wydaje. Ale nie bierz sobie tego do serca, bo może głupoty piszę Najlepiej gdyby ktoś inny się wypowiedział.

PW: Zacznijmy od najczęściej zapominanego przypadku, gdy jedna z funkcji nie jest funkcją kwadratową. 1. m=0 Mamy wówczas dwa równania: −x²+1 = 0 i −x+1 = 0 (x−1)(x+1) = 0 i x−1 = 0 Równania te mają wspólny pierwiastek − liczbę 1.

	1
2. m =
	2

Mamy wtedy równania

	1
3x+1 = 0 i		x2−x+1 = 0
	2

3x+1 = 0 i x²−2x+2 = 0 Drugie z tych równań nie ma pierwiastków.

	1
3. Dla m≠0 i m≠		mamy dwa równania kwadratowe o wyróżnikach
	2

Δ₁ = 36m²−8m+4 i Δ₁ = 1−4m. Warunkiem koniecznym istnienia pierwiastków obu równań jest Δ₁≥0 i Δ₂≥0. Dla wszystkich m nierówność 36m²−8m+4 ≥ 0 jest prawdziwa (wystarczy policzyć, że wyróżnik tej funkcji kwadratowej zmiennej m jest ujemny, a więc przyjmuje ona tylko wartości dodatnie), natomiast nierówność 1−4m ≥ 0

	1
jest prawdziwa dla m ≤		.
	4

Dla takich m oba równania mają pierwiastki (pierwsze równanie ma 2 pierwiastki, a drugie − co najmniej 1). Zgodnie z wzorami Viete'a dla rozpatrywanych równań sumy pierwiastków są równe

	−6		1
		i		.
	2m−1		m

Jeżeli pierwiastki jednego z równań mają być równe pierwiastkom drugiego, to

	−6		1
		=		.
	2m−1		m

−6m = 2m −1 8m = 1

	1
m =
	8

1		1
	<		, a więc jest rozwiązaniem.
8		4

Nie wiem jakiej udzielić odpowiedzi i czy to jest koniec rozważań. Treść zadania jest dla mnie nieprecyzyjna − co to znaczy "mają wspólne pierwiastki"? Wszystkie, czy co najmniej jeden? Może masz odpowiedź, to zdradź.

ktosia: niestety nadal nie mam odpowiedzi do tego zadania. Dostaliśmy na lekcji sugestię, żeby rozwiązać to z układu równań, ale jak próbuję tak zrobić to wychodzi istny kosmos... danych mam tyle co w poleceniu, przepisałam dokładnie słowo w słowo, także nie mam pojęcia czy mają być 2 pierwiastki, jeden, czy wszystkie. Wiem tyle co jest napisane czyli niewiele

PW: No to pociągnijmy dalej. Wspólne pierwiastki (jeden lub dwa) to szczególny przypadek przecinania się wykresów. Zobaczmy więc gdzie wykresy mogą się przecinać: (2m−1)x² + 6mx + 1 = mx² − x + 1,

	1
m∊[−∞,		)
	4

(warunek narzucony na m po to, żeby funkcje te miały pierwiastki).

	1
(m−1)x2 + (6m+1)x = 0, m∊[−∞,		)
	4

	1
x((m−1)x+6m+1) = 0, m∊[−∞,		)
	4

	6m+1		1
x = 0 ⋁ x = −		, m∊[−∞,		).
	m+1		4

Doszliśmy do wniosku, że badane funkcje mają jednakowe wartości dla x = 0 lub

PW: Za wcześnie kliknąłem "wyślij"

	6m+1
... lub dla x=−		, przy czym interesują nas tylko takie ułamki, w których
	m−1

	1
m∊[−∞,		), gdyż chcemy, aby ta jednakowa wartość była miejscem zerowym obu funkcji.
	4

Sprawdzamy: x = 0 nie jest miejscem zerowym badanych funkcji (obie przyjmują wartość 1 dla x=0).

	6m+1
Liczymy wartości obu funkcji dla x = −		:
	m−1

	36m2+12m+1		6m+1
mx2−x+1 =		+		+ 1 = 0 ⇔
	(m−1)2		m−1

36m2+12m+1		(6m+1)(m−1)		(m−1)2
	+		+		= 0 ⇔
(m−1)2		(m−1)2		(m−1)2

43m2+5m+3
	= 0
(m−1)2

Nie ma takich m (Δ<0). Oznacza to, że x, dla których równe są wartości funkcji nie są miejscami zerowymi jednej z nich, a więc funkcje te nie mają wspólnych miejsc zerowych. Odp. Dla m=0 równania mają jeden wspólny pierwiastek (jest nim liczba 1, ale o to nie pytali). Dla pozostałych m równania nie mają wspólnych pierwiastków. Tu muszę się uderzyć w piersi. Wczoraj popełniłem błąd logiczny − z faktu, że sumy pierwiastków tych równań są jednakowe wcale nie wynika, że równania mają wspólne pierwiastki, tak [C[nie wolno myśleć]]. A ponieważ oprócz logicznych zdarzają mi się często błędy rachunkowe − sprawdź krytycznie to co napisałem.

ktosia: ok, jestem meeeega wdzięczna poważnie. I SZACUNEK! sama bym tego nigdy w życiu nie zrobiła

PW: Wyrazy szacunku niepotrzebne, znowu się pomyliłem − opuściłem m (niestety tracę wzrok, ale to marne uzasadnienie)

	36m2+12m+1		(6m+1)(m−1)		(m−1)2
mx2−x+1 = m		+		+		=
	(m−1)2		(m−1)2		(m−1)2

	36m3+12m2+m+6m2−5m−1+m2−2m+1		36m3+19m2−6m
=		=		=
	(m−1)2		(m−1)2

	36m2+19m−6
= m
	(m−1)2

	1
mx2−x+1 = 0 ⇔ (m=0 ∨36m2+19m−6 = 0 )∧m<
	4

	2		3
Przypadek m=0 omówiliśmy wcześniej. Równanie to jest spełnione dla m=		lub m= −
	9		4

	2
Sprawdzenie. Dla m=		mamy równania:
	9

	4		2		2
(		−1)x2 + 6•		x + 1 = 0 i		x2 − x +1 = 0.
	9		9		9

−5x² + 12x+9 = 0 i 2x² − 9x +9 = 0

	3		3
Łatwo sprawdzić, że rozwiązania tych równań to 3 i		oraz 3 i		− równania mają
	5		2

jeden wspólny pierwiastek 3.

	3
Dla m=−		mamy równania:
	4

	3		−3		3
(−		−1)x2 +6•		x + 1 = 0 i −		x2 −x + 1 = 0
	2		4		4

−5x² − 9x +2 = 0 i −3x² − 4x + 4 = 0

	1		2
Równania te mają rozwiązania odpowiednio −2,		i −2,		, a więc mają wspólny
	5		3

pierwiastek −2.

	2
Odpowiedź. Badane równania mają wspólne pierwiastki (po jednym) dla m = 0 lub dla m =
	9

	3
lub dla m = −		.
	4

A mówią, że nie ma nic łatwiejszego jak zadania z funkcji kwadratowej. Pora umierać. Jeżeli na lekcji poznasz prawidłową odpowiedź, to podaj − może umrę spokojniejszy.

ktosia: W końcu zrobiliśmy to zadanie na lekcji i Powiem Ci że bardzo dobrze je rozwiązałeś. Tzn wynik jest prawidłowy, tylko metoda rozwiązania nieco inna, krótsza. ROZWIĄZANIE: Zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań {1,2} (a później tzw. metody analizy starożytnych− sprawdzanie otrzymanych wyników): 1) (2m−1)x²+6mx+1=0 − 2) mx²−x+1=0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (odejmujemy stronami) (m−1)x²+(6m+1)x=0 x[(m−1)x+(6m+1)]=0 x=0 ∨ (m−1)x+(6m+1)=0 Sprzeczność mx−x+6m+1=0 (wychodzi po mx+6m=x−1 podstawieniu m(x+6)=x−1

	x−1
do pierwszego m=		x≠6
	x−6

	x−1
równania) (		)x2−x+1=0
	x+6

	x3−x2
		−x+1=0 / *(x+6)
	x+6

x³−2x²−5x+6=0 (x−1)(x²−x−6)=0 x=1 ∨ x=(−2) ∨ x=3 m=0 m=−³₄ m=²₉ i należało podstawić każdy z tych odpowiadających sobie m i x do obu równań wyjściowych i sprawdzić czy nierówności są wtedy prawdziwe, Wszystkie te były prawdziwe, więc te 3 wartości

	3		2
parametru m są odpowiedzią m=0, m=−		, m=
	4		9