wielomian Radek: Wiedząc, że równania x³−9x+4 ma trzy pierwiastki a) oblicz sumę jego pierwiastków x₁+x₂+x₃=−b czyli muszę ten wielomian podzielić żeby dostać (x−coś)(ax²+bx+c) ?

Radek: x₁+x₂+x₃=−b czyli =0 ?

ICSP: 0

Radek: b) oblicz iloczyn kwadratów jego pierwiastków x₁x₂x₃=−d x₁x₂x₃=(−d)² =16 ?

ICSP:

Mila: b)zapisujemy: x²*x₂²*x₃²=(x₁*x₂*x₃)²=(−d)²=(−4)²=16

Radek: c) oblicz sumę odwrotności pierwiastków tego równania ?

	1		1
−		=−		?
	b		4

Radek: d) ustal ile ma dodatnich pierwiastków ?

Radek: c) jednak źle bo b=0 ? więc jak to policzyć ?

Eta:

	1		1		1
c)		+		+		=
	x1		x2		x3

	x1*x2+x1*x3+x2*x3		c   a		c
=		=		=		= ....
	x1*x2*x3		−d   a		−d

Radek:

	c		−d
skąd to		wzięło i to
	a		a

Piotr 10: Wzory Viete'a dla trzeciego stopnia. Przecież używałeś ich przed chwilą

Eta: ax³+bx²+cx+d=0 wzory Viete^'a:

	−b
x1+x2+x3=
	a

	c
x1*x2+x1*x3+x2*x3=
	a

	−d
x1*x2*x3=
	a

Radek:

	−b
x1+x2+x3=−b a nie		?
	a

Piotr 10: Najlepiej będzie jak sobie wyprowadzisz te wzory, bardziej je zrozumiesz

Radek: Ale jak mam je wyprowadzić mam ax³+bx²+cx+d no i ?

Piotr 10: f(x)=a(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) Gdy a=1 to ''omijamy a'' , gdy a≠1 to uwzględniamy je. Musisz to wszystko wymnożyć, długie trochę. Na pewno na stronie jakieś jest wyprowadzone, jak będziesz miał problemy

Radek: a teraz jak określić ile ma dodatnich pierwiastków ?

Radek: ?

Piotr 10: x₁*x₂*x₃= − 4 A więc mus mieć dwa dodatnie pierwiastki

Piotr 10: hmm może też mieć w sumie trzy ujemne i 0 dodatnich. Dobra ja idę bo zmęczony jestem. Dobranoc

Radek: A teraz jak by było ile ma ujemnych to mogło by być że 3 albo 1 ? która wersja ?

Piotr 10: To tak x₁+x₂+x₃=0 Więc na pewno nie ma trzech ujemnych pierwiastków x₁*x₂*x₃=−4 I przypadek trzy ujemne pierwiastki − odpada(patrz wyzej) II przypadek dwa dodatnie jeden ujemny − ''gra''

Radek: − − − może być bo mam −4 wtedy ?

Piotr 10: Ale patrz wyżej co napisałem.

Mila: Rozumuj [P{Radek]] x₁*x₂*x₃= − 4 iloczyn trzech liczb ujemnych jest ujemny, iloczyn ujemnej i dwóch dodatnich jest ujemny, ale wiemy , że suma x₁+x₂+x₃=0 zatem nie mogą być trzy ujemne, ani trzy dodatnie⇔ są dwa dodatnie pierwiastki.

Radek: Jak nie mogą być 3 ujemne x₁=−1 x₂=−2 x₃=3 ? mam 0

Piotr 10: Czy cyfra 3 jest ujemna ?

Radek: Racja !

Piotr 10:

Radek: oblicz sumę wszystkich pierwiastków wielomianu W(x)=x⁴−πx²+√2 wiem, że mogę równanie dwu kwadratowe, ale nie da się ze wzorów Viete'a dla 4 stopnia ?

Piotr 10:

	b
x1+x2+x3+x4=−		=0
	a

Piotr 10: Sprawdź czy to dobra odpowiedź

Radek: Ja nie chcę gotowych rozwiązań ! bo takie mogę znaleźć w internecie chodzi jak nauczyć się rozpisywać Vietea dla wielomianu większego stopnia jak 2 ?

Piotr 10: Hmm. Najlepiej przez analogie dla wzoru Viete'a drugiego stopnia. Wzór ten masz w tablicach maturalnych. Na maturze nie będziesz miał czasu na ich wyprowadzenie, więc proponuję przez analogię

Eta: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a

Radek: spróbuje zaraz dla 4 stopnia ! odwrotność sumy

1		1		1		1
	+		+		+
x1		x2		x3		x4

x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3
x1x2x3x4

Piotr 10: Tutaj masz dla 4 stopnia http://www.matematyka.pl/161791.htm

Radek: Pani Eto ''dzięcioł'' widzi tam tylko dla 3 stopnia ale ja chcę się nauczyć wyprowadzania dla każdego stopnia !

Piotr 10: Tam nie masz się czego uczyć. Tam jest dużo liczenia bardzo, dla 4 stopnia to już w ogóle

Radek: Ale na maturze jak trafię takie zadanie to nie chcę mi się liczyć równania dwukwadartowego skoro są wzory viete'a ?

Piotr 10: I bardzo dobrze, więcej czasu zyskasz. Popatrz na wzory dla 2 stopnia i trzeciego stopnia i spróbuj się czegoś dopatrzeć(analogii). Nie ucz się ich na pamięć, bo za miesiąc zapomnisz

Radek: Nidy nie uczyłem się na pamięć matematyki !

Eta:

Radek: Ale mam straszne braki i chcę uzupełnić ? Pomożecie mi ?

Radek: Znajdź te wartości współczynnika b dla których wielomian W(x)=x³+bx²+x ma trzy różne nieujemne pierwiastki x(x²+bx+1) Δ>0 x₁+x₂>0 x₁*x₂>0 ?

Piotr 10: Nie wszystko i zapisz to porządniej bardziej

Radek: W(x)=x³+bx²+x W(x)=x(x²+bx+1) Δ>0 x₁+x₂>0 x₁x₂>0 co jeszcze ?

Piotr 10: x(x²+bx+1)=0 x= 0 v x²+bx+1=0 f(x)=x²+bx+1 f(0)≠0

Radek: a w tym poprzednim zadaniu wyszło 2π ?

Radek: ?