granica ciągu Mati_gg9225535: granica ciągu potrzebuję policzyć taką granicę:

	n!
lim
	nn

Mati_gg9225535: jak to ugryźć?

Krzysiek:

	an+1
wzór Stirlinga, albo musisz znać tw. o granicy ciągu
	an

Mati_gg9225535: to załóżmy że korzystam ze wzoru Stirlinga:

	nn * e−n * √2πn
lim		= lim e−n * √2πn to tutaj e−n dąży do zera a
	nn

pierwiastek do nieskończoności teraz mam zrobić z tego ułamek i z de l'Hospitala pójdzie?

Krzysiek: nie pójdzie bo tu masz do czynienia z ciągami a nie funkcjami. w sumie warto znać to tw.

	an+1
limn→∞		<1 to an→0
	an

a jeżeli granica >1 to a_n→∞ a tą granicę można też np. z tw. Stolza policzyć.

Mati_gg9225535:

	e−n		−e−n
lim		= [00] = lim		=
	1   √2πn		1   − (2πn)−3/2 * 2π   2

czy to dobrze w ogóle robię ?

Mati_gg9225535: okej no to faktycznie nie pójdzie

Krzysiek: jeżeli już z tej reguły chcesz to nie prościej było:

√2πn
	?
en

Mati_gg9225535: fakt, prościej

Krzysiek: możesz z tej reguły licząc dla x→∞ (gdzie x∊R ) a potem wracasz do 'n' opierając się na def. Heinego.

Mati_gg9225535: spróbuje Tw. Stolza przełożyć na ten przykład

Mati_gg9225535: czyli n! to moj ciąg b_n a nⁿ to moj ciąg a_n tak ?

Mati_gg9225535: no niech by tak było zatem:

	bn		bn − bn−1		n! − (n−1)!
lim		= lim		= lim		=
	an		an − an−1		nn − nn−1

tak?

Krzysiek: mi chodziło już o tą drugą postać z liczbą 'e' by zastosować tw. Stolza. bo tą granicę początkową to chyba ciężko będzie policzyć. inna sprawa,że a_n−1=(n−1)ⁿ⁻¹

Mati_gg9225535: ok wiec jeszcze raz

Mati_gg9225535: korzystam ze wzoru Stirlinga:

	nn * e−n * √2πn
lim		= lim e−n * √2πn = lim U{ √2πn{en}
	nn

Mati_gg9225535:

	√2πn
= lim		*
	en

Mati_gg9225535:

	√2πn − √2π(n−1)
=		=
	en − en−1

Krzysiek: i teraz z tw. Stolza

√2π(n+1)−√2πn
	=...
en+1−en

Krzysiek: w liczniku standardowo ze wzoru skróconego mnożenia:

	a2−b2
a−b=
	a+b

Mati_gg9225535:

	n(√2π/n − √2π − 2π/n)
=		= moge skrócić n z en skoro i to i to →∞ ?
	en(1 − 1/e)

Krzysiek: jasne,że nie spróbuj tak jak wyżej napisałem,

Mati_gg9225535: okej

Mati_gg9225535: tak?

	2π(n+1) − 2πn   √2π(n+1) + √2πn
lim		=
	en+1 − en

wredulus_pospolitus: A ja mam pytanie −−− po co tak ciężkie obliczenia skoro można to łatwo z tw. o 3 ciągach 'pojechać' ?

Mati_gg9225535: a np nie dało się tego załatwić jakoś z tw o trzech ciągach może?

Krzysiek:

	a/b		a
ok,		=		, teraz już nie masz symbolu nieoznaczonego typu ∞/∞ i granica zmierza
	c		b*c

do 0

Mati_gg9225535: wiedziałem! ale jakie te ciągi dobrać? myslalem o takich ale nie wiem czy mi to cos da

(n−1)!		n!		(n+1)!
	≤		≤
nn		nn		nn

Krzysiek: wredulus, ja to bym od razu z tego tw. które podałem wyżej skorzystał albo Stirling i np. policzył ⁿ√b_n przynajmniej Mati przypomniał sobie o tw. Stolza

Mati_gg9225535: tam w mianowniku eⁿ⁺¹ − eⁿ to jest ∞ − ∞ i to sie równa 0?

wredulus_pospolitus: dla uproszenia ... n − parzyste

	n		n
n! = (		)!*(		+1)*....*n
	2		2

	n
nn = (n*....*n)*(n*...*n) <−−− dzielimy na dwa nawiasy po '		' elementów
	2

	n   ( )n/2*nn/2   2		1
0≤an≤		= (		)n/2 −> 0
	nn/2*nn/2		2

	n
oczywiście podział nie musi być 'po połowie' można zapisać np. [		] lub inny podział
	2

'zależny' od 'n'

Mati_gg9225535: nie przypomniał bo go nigdy nie miał ale dzięki Krzysiu

Krzysiek: w mianowniku eⁿ(e−1)(p{2π(n+1)+√2πn)→[∞*∞]=∞ Mati, nie wiesz co to są symbole nieoznaczone.. ∞−∞ to właśnie symbol nieoznaczony więc one się nie skracają

wredulus_pospolitus: Krzysiek ... Ty pewny jesteś co do tego twierdzenia 18:21 ?

Krzysiek: brakuje, że to musi być ciąg o wyrazach dodatnich.

Mati_gg9225535: wredulus₋pospolitus rozumiem rozłożenie nⁿ na n^n/2*n^n/2 ale tego rozłożenia silni nie widzę jakos sie to da wytłumaczyć jeszcze ?

wredulus_pospolitus:

	n
n! rozkładam na 'pół' (czyli zostaje (		)! i później iloczyn kolejnych <co by można było
	2

	n
zapisać jako (n −		)! ewentualnie> .... albo jak wolisz ... elementy silni szacuję
	2

	n
przez		... aż dojdzie do tego elementu ... a następnie przez n
	2

Mila:

	(n+1)!		n!*(n+1)		n!
an+1=		=		=
	(n+1)n+1		(n+1)n*(n+1)		(n+1)n

an+1		n!		nn		n
	=		*		=(		)n
an		(n+1)n		n!		n+1

	an+1
Jeżeli limn→∞{		}=q<1 to an→0
	an

	n		1
limn→∞(		)n=limn→∞		=
	n+1		n+1   ( )n   n

	1		1		n!
=limn→∞		=		<1 zatem an=		→0
	1   (1+ )n   n		e		nn

Mati_gg9225535: a jeżeli to q > 1 to wtedy a_n → ∞ ?

Mati_gg9225535: Dziękuję Wam za pomoc Mila Twój sposób najbardziej do mnie trafił więc szczególne podziękowania!

	an+1
to jeszcze na koneic zapytam, jest jakaś reguła kiedy mogę stosować tę metodę		?
	an

Krzysiek: Mati ten sposób podałem na samym początku a kiedy można stosować napisałem o 19.06.

Mati_gg9225535: no faktycznie okazało się najbardziej przystępne, dzięki Tobie też bo dużo czasu poświęciłeś! jeszcze wrócę tu z granicami, bo na razie to tak się oderwałem na chwilę od macierzy także WIELKIE DZIĘKI i miłego wieczoru

Mila: Dobranoc.