Parzystość i nieparzystość funkcji ViVa: Przedstaw funkcję w postaci sumy funkcji parzystej i nieparzystej: f(x)=1−x³−x⁴−2x⁵ Sprawdziłam, że to nie jest ani funkcja parzysta, ani nieparzysta, więc jak to zrobić?

wredulus_pospolitus: 1−x⁴ <−−− funkcja parzysta −x³−2x⁵ <−−− funkcja nieparzysta x^α jest: parzyste jeżeli α parzyste nieparzyste jeżeli α nieparzyste

ViVa: Aha... dzięki A jak udowodnić, że każdą funkcję można przedstawić w postaci sumy funkcji parzystej i nieparzystej ? Wie ktoś z Was może i podzieli się tą wiedzą?

PW: g(x) = f(x) − f(−x) jest funkcją nieparzystą, bo g(−x) = f(−x) − f(−(−x)) = f(−x) − f(x) = −[f(x) − f(−x)] = −g(x). h(x) = f(x) + f(−x) jest funkcją parzystą, co jest oczywiste. Tak więc

	1
f(x) =		(g(x) + h(x))
	2

	1		1
jest sumą funkcji nieparzystej		g(x) i parzystej		h(x).
	2		2

PW: Jeszcze mała uwaga. Nie "każdą funkcję". Dowód jest poprawny gdy ma sens f(−x), a więc dziedzina funkcji musi być symetryczna względem zera.

ViVa: Dzięki wielkie, bo się zastanawiałam jak to pokazać, a to jest takie ciekawe, dziękuję serdecznie