analiza PuRXUTM:

	(an)2+4an
Niech a1∊[0;3] oraz an+1=		, n≥1. Wykaż że ciąg jest zbieżny.
	7

Postaram się to sam zrobić, w międzyczasie możecie wrzucić rozwiązanie

PuRXUTM: badamy monotoniczność:

	(an)2+4an		(an)2−3an		an(an−3)
an+1−an=		−an=		=
	7		7		7

gdyby a_n należało do [0;3] to byłby to ciąg malejący udowodnijmy że a_n należy do [0;3] (sam tego nie wymyśliłem, podobne było na zajęciach ) a₁∊[0;3] ok Z: a_n∊[0;3] T: a_n+1∊[0;3]

	(an)2+4an
an+1=
	7

	32+4*3
0≤an+1≤
	7

a_n+1∊[0;3 udowodniliśmy, zatem ciąg a_n jest malejący teraz spróbujemy go ograniczyć [na boku]

	(an)2+4an
an+1=
	7

	q2+4q
q=
	7

q²−3q=0 q=0 v q=3 i teraz zaczynają się schody... ciąg jest malejący a₁∊[0;3] więc q <3 czyli zakładamy że q=0 próbujemy dowieść że a_n>0 dowód indukcyjny i teraz mam dylemat bo a₁ ≥0 a nie równe 0 a my musimy wykazać że a_n>0 czy a_n≥0

Godzio: Pokazałeś przecież nieco wyżej, że a_n ∊ [0,3]

Godzio: I mamy pokazać, że jest ograniczony więc bez różnicy czy pokażemy, że > 0 czy ≥ 0

PuRXUTM: czyli pokazałem że jest ograniczony do dołu tak ? czyli granicę liczę i dochodzę do tego że q=0 tak ?

Godzio: Tak

PuRXUTM: dzięki