analiza PuRXUTM: Niech a₁=1 a_n+1=√6+a_n, n≥1. Zbadaj zbieżność ciągu a_n i wyznacz jego granicę. jak zbadać tutaj monotoniczność

	(an+2)(an−3)
an+1−an=...=		i teraz licznik jest ujemny dla an>3 a z tego
	√6+an+an

co widzę (wolfram) to jak sobie wpisuje po kolei a₁, a₂... to to będzie chyba dążyć do 3... jak to obliczyć

Godzio: a₁ = 1 a₂ = √7 a₂ − a₁ > 0 Przypuszczamy, że ciąg jest rosnący, załóżmy więc, że dla pewnego n zachodzi: a_{n + 1} − a_n > 0, pokażemy, że a_{n + 2} − a_{n + 1} > 0 a_{n + 2} − a_{n + 1} = √6 + a_{n + 1} − √6 + a_n =

	6 + an + 1 − (6 + an)
=		=
	√6 + an + 1 + √6 + an

	an + 1 − an
=		> 0
	√6 + an + 1 + √6 + an

Ponieważ licznik jest > 0 z założenia, a dół to suma dwóch pierwiastków Stąd ciąg jest rosnący Pokażemy teraz, że ciąg jest ograniczony przez 3 (skoro tak Ci się wydaje ) Załóżmy więc, że a_n < 3 (a₁ = 1 < 3 oczywiście) a_{n + 1} = √6 + a_n < √6 + 3 = √9 = 3, więc pokazaliśmy, że a_{n + 1} < 3 stąd teza Pokazaliśmy, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez 3 więc zbieżny, granicę znajdujemy przechodząc z n do nieskończoności w naszym równaniu a_{n + 1} = √6 + a_n ⇒ g = √6 + g /² ⇒ g² − g − 6 = 0 ⇒ (g − 3)(g + 2) = 0 Stąd g = 3 (−2 odpada bo a_n > 0 )

Krzysiek: a₂=√6+1>a₁ indukcyjnie udowodnij,że ciag jest rosnący. zał: a_n<a_n+1 teza: a_n+1<a_n+2 √6+a_n<√6+a_n+1 a_n<a_n+1

Krzysiek: ale się Godzio rozpisał

PuRXUTM: chyba wiem jak indukcyjnie a₁=1 a₂=√7 zakładam że ciąg a_n jest rosnący Dowód indukcyjny 1) dla n=1 a₁<a₂ ok 2) Z: a_n<a_n+1 ⇔ a_n−a_n+1<0 T: a_n+1<a_n+2

	6+an−6−an+1
an+1−an+2=√6+an−√6+an+1=		=
	√6+an+√6+an+1

an−an+1
√6+an+√6+an+1

licznik z założenia <0 mianownik wiadomo >0 a_n+1−a_n+2<0 a_n+1<a_n+2 c.n.d. ciąg jest ciągiem rosnącym teraz szukamy ograniczenia od góry jak to mówił mój ćwiczeniowiec na boku możemy sobie policzyć, zakładając że ma granicę a_n+1=√6+a_n jeżeli a_n zbiega do q to a_n+1 też do q czyli mamy równanie q=√6+q q²−q−6=0 q=3 lub q=−2 ciąg jest rosnący a a₁=1 czyli q>1 czyli q=3 wiemy teraz że możemy spróbować ograniczyć go od góry przez 3 a₁=1<3 a₂=√6+a₁<√6+3=3 a₃=√6+a₂<√6+3=3 . . . a_n=√6+a_n−1<√6+3=3 czy to wystarczy i teraz mogę sobie przejść z n do nieskończoności i znowu zapisuję q²−q−6=0 wyliczam że q=3 wystarczy

PuRXUTM: dziękuje ! udało mi się prawie samemu na to wpaść

Godzio: