wykaż tomek: wykaz, ze jezeli n jest sumą kwadratow dwoch liczb calkowitych, to liczba 5n rowniez ma tę wlasnosc

Andrzej: Założenie: istnieją a,b ∊ C: n = a² + b² Teza: istnieją m,k ∊C: 5n = m²+k² Dowód: 5n = 5(a²+b²) = /rozbijam to na potrzebne mi składniki/ = a² + 4b² + 4a² + b² = /dodaję i odejmuję 4ab/ = a² + 4ab + 4b² + 4a² −4ab + b² = /zwijam wzory skróconego mnożenia/ = (a+2b)² + (2a−b)² = / jeśli a i b były całkowite to m=a+2b i k=2a−b też są całkowite/ =m² + k² cbdo

ttre: Ω∑∑∑⇔→→→→→≈≠≠↙

Panko: Pewne uogólnienie bazujące na prostej tożsamości algebraicznej : (a² +b² )*(c² + d²) = ( ac+bd)² + ( ad − bc )² stąd n=x² + y² 5=2² +1² 5n=(x² + y²)*( 2² +1² ) = ( 2*x+ 1*y)² + ( 1*x − 2*y)² ....................................................................................... Z powyższego widać czym można podmienić liczbę 5, żeby teza nie padła. Musi ta liczba być sumą kwadratów