pytanie tn: Mamy dwa wektory (1, −1, 2) (2+a, 3a, a+b) a i b są rzeczywiste. Sprawdzic dla jakich parametrów a i b te wektory są liniowo niezależne

Krzysiek: z definicji rozpisz

tn: rozpisuję, ale nie widz ejak dalej dla dowolncyhc skalarów x,y układ wektorów jest liniowo niezależny : x(1,−1,2) + y( 2+a, 3+a, a+b) = 0 ⇒ x=y=0 Pomocy, proszę. tam popełniłem błąd, ma być 3+a a nie 3a)

PW: Lepiej jednak napisać x•(1,−1,2)+ y•(2+a,3+a,a+b) = (0, 0, 0).

tn: PW, poratuj, w czwartek kolos Ja się zgadzam z Twoim zapisem, ale nie widze rozwiazanai

tn: Mam nieśmiałą prośbę − pomóglbys mi troche z tymi przestrzeniami liniowymi ? Np, to zadanie nie wiem jak chapnąć

Krzysiek: porównaj współrzędne ze sobą rozwiązując układ równań

tn: Ok, niech to będzie układ: x + y(2+a) = 0 −x + y(3+a) =0 2x + y(a+b) = 0 Ok, tutaj niewiadome to x i y − prawda ? A a i b i stałe to współczynniki. Idąc dalej. możemy nawet macierz uzupełnić, i chciałbym w oparciu o nią to rozwiązać, ale nie wiem jak. Choć znam cel. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami są x=y=0;

Krzysiek: 1 2+a | 0 −1 3+a| 0 2 a+b| 0 1 2+a |0 0 5+2a |0 0 −a+b−4|0 i teraz gdy rząd macierzy będzie równy 1 to wektory są liniowo zależne.

tn: w oparciu o co mówisz, z tym rzędem macierzy ? W ogóle co to jest ten rząd, dlaczego akurat 1 ?

Krzysiek: teraz zauważyłem,że rozpisywałem tak jak napisałeś za drugim razem czyli,że 2 współrzędna to: 3+a, a nie 3a. jak rząd wynosi 1, to liczba wektorów liniowo niezależnych to 1. jak rząd 2. to są 2 wektory liniowo niezależne.

tn: my mamy dwa wekrory, więc chcemy, żeby rząd był 2 przecież. (one oba mają być liniowo niezależne)

Krzysiek: no tak więc sprawdź dla jakich a,b rząd będzie równy 1 , dla pozostałych ,a,b wektory będą liniowo niezależne.

Trivial: http://pastebin.com/zVXn61ja

tn: @Trivial, "co można zapisać" Dlaczego można tak zapisać ?

tn: aha, czyli jeśli weźmiemy układ złożony z jednego wektora, to jest to zawsze układ liniowo niezależny ?

Trivial: Tak się mnoży macierze.

tn: aha, czyli na jedno wyjdzie − po pomnożeniu dostaniemy to i tak i tak. Wektory będą liniowo zależne jeśli jednocześnie zachodzi: 2+4a = 0 b−a−4 = 0 Tego nie wiem dlaczego akurat tak. a dlaczego nie bierzesz też: 2+a = 0 ?/ Weź mi to wytłumacz, bo nie mogę juz − caly dzien nad tym siedze

tn: PS, ja zrobiłem poprawkę Tam ma być nie 3a, tylko 3+a

Trivial: Chodzi o to, żeby jakaś kombinacja [ 1, 0, 0 ] oraz [ 2+a, 2+4a, b−a−4 ] dała [ 0, 0, 0 ]. Jak zapewne wiesz, coś*0 = 0, zatem żeby taka kombinacja istniała musimy mieć 2+4a = 0 oraz b−a−4 = 0. Po rozwiązaniu tego układziku mamy (a,b) = (−¹₂, ⁷₂), czyli wektory są liniowo zależne właśnie dla (a,b) = (−¹₂, ⁷₂) − dla jakichkolwiek innych już nie. Skąd już szybko dochodzimy do rozwiązania.

Trivial: No to teraz zrób poprawioną wersję sam.

tn: Ok, spróbuję poprawioną wersję: Ale proszę o sprawdzenie zaraz napisze

tn: x + y(2+a) = 0 −x + y(3+a) =0 2x + y(a+b) = 0 To jest nasz układ równań. W takim razie kiedy będą trzy wektory zależne ? − wtedy kiedy będzie istniało niezerowe rozwiązanie tego układu. nie zerowe, tzn że albo x ≠ 0 albo y≠0. Albo oba naraz różne od zera. zapiszmy macierz: | 1 (2+a) | | −1 (3+a) | | 2 (a+b) | wobec tego po Gaussowaniu: | 1 (2+a) | | 0 (5+2a) | | 0 (−a+b−4) | No więc wracając z macierzy do układu: 1x + (2+a) y = 0 (5+2a)y = 0 (−a+b−1) y = 0 I teraz chcemy żeby układ ten był zależny, czyli żeby, no właśnie ? Co mamy teraz dalej zrobić ? Chcemy, na razie, żeby były zależne, więc powinniśmy sprawdzić dla jakich a i b, będą niezerowe rozwiązania. np x= 6, y = 8. Jak dalej ?

Trivial: Myśl o kombinacji liniowej kolumn macierzy po Gaussowaniu. x*k₁ + y*k₂ = 0 k₁, k₂ − kolumny 1,2 Zauważ, że jeśli 5+2a ≠ 0 lub −a+b−4≠0 to rozwiązania nie istnieją (żeby to się zerowało musimy mieć y=0, ale wtedy x też musiałoby być zerem). Zatem mamy liniową zależność tylko gdy

	⎧	5+2a = 0
	⎩	−a+b−4 = 0

Wartość 2+a nie ma znaczenia, ponieważ zawsze możemy tak dobrać x, żeby x + y(2+a) się zerowało. Rozwiąż ten układzik, rozwiązanie podstaw do tej macierzy po redukcji i zobacz co się dzieje.

Trivial: W ogóle ten przykład jest odrobinę nietrywialny. Jeżeli nie rozumiesz idei liniowej niezależności to zacznij od prostszych przykładów (bez parametrów). Gdy już zrozumiesz o co tak naprawdę chodzi, powróć do tego zadanka.

tn: Ok, a możesz powiedzieć trochę o tej lnz ? Robiłem prostsze zadanka. Np. sprawdzałem, czy wektory są niezależne. Brałem w macierz, Gauss, i patrzyłem jakie są rozwiązania potem ukladu. Ale nigdy żadnych kombinacji przez kolumny nie robiłem. Dlatego jestem zdezrotientowany

Trivial: O współliniowości wektorów a₁, a₂, ..., a_n mówimy wtedy gdy istnieją stałe x₁, ..., x_n, z których choć jedna nie jest zerem, takie że zachodzi: x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ + ... + x_na_n = 0 // definicja współliniowości Zapisując to zwięźlej: Ax = 0, x ≠ 0 gdzie A = [ a₁ a₂ a₃ ... a_n ] // macierz utworzona z kolumn a₁, ..., a_n [ x₁ ] [ x₂ ] x = [ x₃ ] [ ... ] [ x_n ] Przykład 1

	1 2		3 6
Sprawdzić czy wektory a1 =		, a2 =		są współliniowe

Szukamy rozwiązania układu równań:

	1 3 2 6	x1 x2		0 0
			=

Stosując eliminację Gaussa mamy:

	1 3 2 6	x1 x2		0 0		1 3 0 0	x1 x2		0 0
			=		⇔			=

	3 −1
A zatem wystarczy wybrać np. xs =		.

	3 −1
Każdy inny wektor x = c*xs = c*		, c∊R również będzie rozwiązaniem tego układu.

Rozwiązanie istnieje → wektory są współliniowe. Przykład 2

	1 2		3 7
Sprawdzić czy wektory a1 =		, a2 =		są współliniowe

Szukamy rozwiązania układu równań:

	1 3 2 7	x1 x2		0 0
			=

Stosując eliminację Gaussa mamy:

	1 3 2 7	x1 x2		0 0		1 3 0 1	x1 x2		0 0
			=		⇔			=

Inaczej:

	1 0		3 1		0 0
x1		+ x2		=

Tutaj widać natomiast, że rozwiązaniem jest tylko rozwiązanie trywialne x = 0, gdyż x₂*1 = 0 ⇒ x₂ = 0 ⇒ x₁ = 0 Rozwiązanie jest trywialne → wektory nie są współliniowe.