analiza PuRXUTM: wykaż że następujące ciągi są zbieżne

	1		1		1
bn=(1+		)(1+		)*...*(1+		)
	2		4		2n

więc zacząłem od monotoniczności

bn+1
	=
bn

1   1   1   (1+ )*...*(1+ *(1+ )   2   2n   2n+1
	=
1   1   (1+ )*...*(1+ )   2   2n

	1
1+		wiem że to zbiega do 1, więc dla prawie wszystkich (wszystkich po za skończoną
	2n+1

ilością) ciąg ten jest stały, tak ?

PuRXUTM: up

Godzio: Mówiłem Ci coś na temat monotoniczności, tam nie przechodzisz z n do ∞ !

bn + 1		1
	= 1 +		> 1 bo U{1}{2n + 1 > 0 więc ciąg jest rosnący
bn		2n + 1

PuRXUTM: ale nam ćwiczeniowiec mówił że nie ważne co dzieje się z początkową skończoną ilością wyrazów... Możesz Godzio powtórzyć co mówiłeś z tym przechodzeniem, bo nie pamiętam

Godzio: Jeżeli badamy monotoniczność to:

bn + 1
	> 1 −− rośnie < 1 −− maleje = 1 −− stały
bn

b_{n + 1} − b_n > 0 −− rośnie < 0 −− maleje = 0 −− stały W definicji monotoniczności nie ma:

	bn + 1
limn→∞		ani limn→∞(bn + 1 − bn)
	bn

PuRXUTM: ok dzięki tylko jak to teraz ograniczyć od góry

Godzio: ln(x + 1) ≤ x dla x > − 1

	1		1		1
lnbn = ln(1 +		) + ln(1 +		) + ... + ln(1 +		) ≤
	2		4		2n

	1		1		1		1		1   1 −   2n
≤		+		+ ... +		=		*		=
	2		4		2n		2		1   1 −   2

	1
= 1 −		≤ 1 = lne
	2n

stąd b_n ≤ e

Godzio:

	1
Można też zauważyć, że jest to podciąg ciągu (1 +		)n więc musi być ograniczony jego
	n

granicą

PuRXUTM: to ln to oczywiście lim tak

Krzysiek: ln to logarytm naturalny.

Godzio:

PuRXUTM: no sprytne to dziękuje !

Godzio: Zapisz sobie tę nierówność :

x
	≤ ln(x + 1) ≤ x
1 + x

Myślę, że nie raz będzie przydatna

PuRXUTM:

	1
a mam jeszcze jedno pytanie 1−		≤0 to tutaj przechodzę do nieskończoności
	2n

Godzio:

	1		1
Nie, −		≤ 0 więc 1 −		≤ 1
	2n		2n

PuRXUTM:

	−1
dlaczego		≤0 dla jakiego jest równe 0 (po za "nieskończonością" chodzi od pewnego
	2n

n₀)

Godzio: My nie badamy granic, tylko zwykłe liczby,

	−1		−1
Nie ma tam lim		tylko
	2n		2n

PuRXUTM:

	−1
no to właśnie dlaczego		≤0 a nie <0
	2n

Godzio: Szczegóły, powinno być < 0, nie wiem czemu dawałem ≤