wykaż, że XYZ: Wykaż, że nie istnieje wielomian W(x) o wszystkich współczynnikach całkowitych, dla którego zachodzi W(13)=3 i W(17)=5. Jeśli ktoś nie ma czasu napisać rozwiązanie, to prosiłbym o wskazówki. Dzięki z góry

bezendu: wielomian stopnia którego ?

XYZ: Nie jest sprecyzowane

XYZ: Podbijam

Mila: Jeżeli W (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych x≠y liczba W (x) − W (y ) dzieli się przez (x − y). Sprawdzamy: W(13)−w(17)=3−5=−2 x−y=13−17=−4

−2		1
	=		∉C zatem nie istnieje wielomian W(x)o współczynnikach całkowitych dla którego
−4		2

W(13)=3 i W(17)=5.

XYZ: Nieznałem tej zależności. Dzięki!

XYZ: Nie znałem*

PW: Dowód jest prosty: W(x) = a_nxⁿa_n−1xⁿ⁻¹ + ... +a₁x + a₀ W(y) = a_nyⁿa_n−1yⁿ⁻¹ + ... +a₁y + a₀ (1) W(x)−W(y) = a_n(xⁿ−yⁿ) + a_n−1(xⁿ⁻¹−yⁿ⁻¹)) + ... + a_z(x−y). Każdy składnik a_k(x^k−y^k) jest iloczynem liczby całkowitej a_k i różnicy x^k−y^k = (x−y)p_k, gdzie p_k jest liczbą całkowitą (nie chce mi się wypisywać całego wzoru, bo nie jest istotne co kryje się pod p_k − ważne że jest to liczba całkowita). Wobec tego różnica (1) dzieli się przez (x−y).