wykaż, że... Lee: Wykaż, że:

a		b		c		d
	+		+		+		≥ 4
b		a		d		a

a,b,c,d ∊ R₊

PW: Podpowiedź jest tutaj: 221715 W poleceniu drugi ułamek pewnie powinien być

	b
	c

Janek191: Może tak: a,b,c,d ∊ R₊ ( a − b)² ≥ 0 i ( c − d)² ≥ 0 a² −2ab + b² ≥ 0 i c² − 2cd + d² ≥ 0 a² + b² ≥ 2ab / : ab i c² + d² ≥ 2cd / : cd

a		b		c		d
	+		≥ 2 i		+		≥ 2 ; dodajemy stronami
b		a		d		c

a		b		c		d
	+		+		+		≥ 4
b		a		d		c

PW: Uwaga: Zarówno jJanek191 jak i ja proponujemy zmiany w treści zadania. Ja proponowałem wersję

	a		b		c		d
		+		+		+		≥ 4,
	b		c		d		a

do której skutecznym narzędziem jest nierówność między średnimi. Janek191 proponuje wersję

	a		b		c		d
(		+		) + (		+		) ≥ 4,
	b		a		d		c

do której dwukrotnie stosuje znaną nierówność

	1
x +		≥ 2
	x

nawet ją dowodząc. Gdyby nie poprawiać treści zadania, to można podejść tak: wszystkie liczby są dodatnie, więc b=ax, c=ay, d=az, x,y,z>0 i lewa strona nierówności ma postać

	a		ax		ay		az
		+		+		+		=
	ax		a		az		a

	1		y
		+ x+		+ z
	x		z

	1		1
Dla x=z=1 i y=		wyrażenie to jest równe 1 + 1 +		+1 <4, a więc zadanie
	2		2

w pierwotnej wersji zawiera fałszywą tezę.

Lee: dzięki