ciągi, granice
mw: Mam jeszcze takie zadanie
×1, ×2, ×3, ...×n > 0
Wykazać że jeśli
×1*×2*...×__n = 1
to
×1 + ×2 + ×3 + ... + ×n ≥ n
14 lis 23:33
Krzysiek: dowodzisz indukcyjnie,
zakładamy,że nierówność jest prawdziwa dla 'n' oraz
x1*...xn*xn+1=1
podstawienie:
y1=x1
y2=x2
...
yn−1=xn−1
yn=xn*xn+1
yi >0 i∊{1,...,n}
otrzymujesz:
y1*...yn=1 na mocy zał. indukcyjnego
y1+...+yn≥n
x1+...+xn−1+xnxn+1≥n
x1+..+xn+xn+1≥n+xn+xn+1−xnxn+1
wystarczy teraz pokazać,że: xn+xn+1−xnxn+1≥1
14 lis 23:54
PW: Można też zastosować nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną:
| | x1+x2+...+xn | |
|
| ≥ n√x1•x2•...•xn |
| | n | |
− wynik natychmiast (pod pierwiastkiem jest 1).
15 lis 00:04