Wyznaczenie ekstremum funkcji Jakub: Witam. Mam takie zadanie: Wewnątrz kąta prostego o wierzchołku C leży w punkcie P. Odległości P od ramion tego kąta wynoszą 2 i 3. Przez punkt P poprowadzono prostą przecinającą ramiona w punktach A i B, tak, że trójkąt ABC ma najmniejsze pole. Wyznacz długości boków trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

	3y2
Pole wyszło mi P=
	2y−4

W związku, że jest to zadanie na 6, bo jestem w liceum proszę Was o pomoc w wyznaczeniu ekstremum tej funkcji, wytłumaczenie jak to zrobić.

	6y−12
Obliczyłem pochodną f '=
	(2y−4)2

Janek191:

	3 y2
P( y ) =
	2 y − 4

P'( y) − źle obliczona

Janek191:

	6y*(2y − 4) − 3y2*2
P' ( y) =		; y > 2 − aby istniał ΔABC
	(2y − 4)2

	12 y2 − 6y2 − 24 y		6 y2 − 24 y
P'( y) =		=
	( 2y − 4)2		( 2y − 4)2

	6 y2 − 24 y
P ' (y ) = 0 ⇔		= 0 ⇔ 6 y2 − 24 y = 0 ⇔ 6y*( y − 4) = 0 ⇔
	( 2y − 4)2

⇔ y = 4 ; y = 0 − odpada , bo y > 2 Dla y < 4 jest P'( y) < 0 , a dla y < 4 jest P'( y) > 0 , zatem funkcja P( y) osiąga w punkcie y = 4 minimum. Mamy zatem

	3 *42		48
P( 4) =		=		= 12
	2*4 − 4		4

Pole najmniejszego trójkąta jest równe 12 [ j²} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	24
P = 0,5 x*y = 12 ⇒ x*y = 24 ⇒ x =
	y

	24
Dla y = 4 mamy x =		= 6
	4

czyli I CA I = 6 , I CB I = 4 zatem z tw. Pitagorasa I AB I² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52 = 4*13 I AB I = √ 4*13 = 2 √13 Odp. I AC I = 6 , I BC I = 4 , I AB I = 2 √13 ====================================