nierownosci zadanie: 1. Czy rownosc √x²=x jest prawdziwa dla x=nⁿ, jezeli a) n=5²²²−3³³³ b) n=47¹¹¹−7²²² c) n=3²²²−2³³³ d) n=35¹¹¹−6²²² 2. Czy nierownosc x⁹⁹⁹<x²⁰¹³ jest prawdziwa dla x=nⁿ, jezeli a) n=5²²²−3³³³ b) n=47¹¹¹−7²²² c) n=3²²²−2³³³ d) n=35¹¹¹−6²²² zrobilem to zadanie wczesniej ale okazalo sie, ze nie wszystko bylo dobrze jak sprawdzalismy 1. x≥0 2. podana nierownosc jest spelniona dla x∊(−1,0)U(1,∞) ale trzeba bylo patrzec rowniez na parzystosc tych liczb no jezeli bedzie ujemna i podniesiona do potegi parzystej to bedzie nieujemna a to np. zmienia odp. w 1 zadaniu a jak okreslic tu parzystosc ?

wredulus_pospolitus: dokładnie ... trzeba także sprawdzić 'parzystość' (w 1) ale w (2) parzystość ważna jest tylko gdy x<0

wredulus_pospolitus: parzysta ... patrzysz na ostatnią cyfrę (a) 5¹ = 5 5² = 25 5³ = 125 ... 5ⁿ = cośtam...5 3ⁿ (patrzymy ostatnia cyfra) n=1 −> 3 n=2 −> 9 n=3 −> 7 n=4 −> 1 n=5 −> 3 n=6 −> 9 czyli zawsze nieparzysta −> 5 − nieparzysta = parzysta (a) −−− liczba parzysta

wredulus_pospolitus: (b) 47¹¹¹ ostatnia cyfra będzie taka sama jak w przypadku 7¹¹¹ 7ⁿ (patrzymy ostatnia cyfra) n=1 −> 7 n=2 −> 9 n=3 −> 3 n=4 −> 1 n=5 −> 7 n=6 −> 9 czyli nieparzysta zawsze nieparzysta − nieparzysta = parzysta (b) liczba parzysta

wredulus_pospolitus: (c) nieparzysta (d) parzysta

wredulus_pospolitus: albo jeszcze prościej aⁿ − parzysta gdy a parzysta (iloczyn 'n' parzystych liczb daje parzystą liczbę) ... nieparzysta gdy a nieparzysta (iloczyn 'n' nieparzystych liczb daje nieparzystą liczbę)

zadanie: d) chyba raczej nieparzysta

wredulus_pospolitus: tak tak ... oczywiście nieparzysta

zadanie: no dobrze czyli np. d) jest liczba nieparzysta ujemna np. n=−3

	1
czyli nn=(−3)−3=−		dzieki temu wiem, ze jest ona w przedziale (−1,0) tak?
	27

Mila: Ustalanie ostatniej cyfry liczby podniesionej do potęgi 1)0, 1, 5,6 zawsze cyfrą jedności będzie odpowiednio :0,1,5,6 2)liczba o cyfrze jedności 3. 3¹=3 3²=9 3³=27 3⁴=81 3⁵=243 3⁶=729 3⁸=...7 3⁹=...1 zatem ciąg 4 "końcówek" {3,9,7,1} powtarza się cyklicznie stąd dla 3³³³ liczymy 333:4=...+r.1 zatem 3³³³=...3 bo pierwsza cyfra z ciągu końcówek to 3. W tym zadaniu nie jest nam potrzebna konkretna cyfra jedności, wystarczy zauważyć, jak pokazał kolega Artur.

Mila: n=(35¹¹¹−36¹¹¹) liczba całkowita ujemna nieparzysta

	1
x=(35111−36111)(35111−36111)=		gdzie
	a

a=(35¹¹¹−36¹¹¹)^{(36111−35111)} x∊(−1,0) bo w mianowniku liczba całkowita ujemna

zadanie: dziekuje