ograniczenie ciagu Marek.2: Witam! Jak badać czy ciag jest ograniczony. no bo mialem podane na lekcji ze ciag jest ograniczony gdy: E takie M>0 ze V n∊N |a_n| <M to np kiedy tak bedzie? jak wtedy bedzie wygladal a_n? jak to wnioskowac?

Marek.2: up

Krzysiek: np. a_n=1/n dla każdego 'n' |a_n|<2 szukasz jakiegoś ograniczenia np. rozpisując kolejne wyrazy ciągu a potem z reguły indukcyjnie dowodzisz,że to jest ograniczenie.

Marek.2: ten ciag co podales jest nieograniczony? bo wychodzi ze n>1/2, a n ma byc dowolne nie? a jak odniesc sie do czegos takieg?

	n+1
ja np maialem taki dlugi ciag ze cn≥
	101

no iwtedy jak podstawiam pod

n+1
	<M
101

wychodzi ze n<101M − 1? i co ja moge z tego wywnioskowac?

Krzysiek: przecież ciąg a_n=1/n jest ograniczony. co do zadania podaj normalną treść zadania

Marek.2: Sprawdz czy ciag jest ograniczony /

	(n+1)!
ciag: cn =
	n! + 100

wredulus_pospolitus: jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony do dzieła

Marek.2: nie kazdy ciag ograniczony jest zbiezny....

wredulus_pospolitus: ale każdy zbieżny jest ograniczony

wredulus_pospolitus: więc krok 1 ... sprawdzasz czy ciąg jest zbieżny ... jeżeli tak ... to koniec zadania

wredulus_pospolitus: co więcej ... ciąg rozbieżny −> nie jest ograniczony ... i wracam do kr (1) ... jeżeli wyjdzie rozbieżny ... to nie jest ograniczony ... to koniec zadania

wredulus_pospolitus: oczywiście rozbieżny do +∞

Krzysiek:

	(n+1)!		n!(n+1)		n+1
cn≥		=		=
	n!+100n!		101n!		101

ciąg jest nieograniczony c_n→∞ dla ustalonego M,

n+1
	>M
101

n>101M−1 zatem istnieje takie n₀=[101M−1]+1 ,że dla każdego n>n₀ a_n>M

Marek.2:

	1
a jak udowodnic ze		jest ograniczony?
	n

no bo to by bylo tak ze

1
	< M zatem
n

	1
n>
	M

a ja mialem ze istenieje m >0 ze dla kazdego n ∊N, an<M, no skoro tak jest to 0∊N to zero nie

	1
jest wieksze od 0>		, ale pewnie tutaj jest to ze 0 ≠ N,
	M

	1
czyli kazdy n>		;, wiem ze jak wypisze wyrazy to bedzie widac, akle zalezy mi na tej
	M

metodzie...

Marek.2: a ten przyklad co ja podalem to wnioskuje ze n musialoby byc wieksze od 101M −1 to znaczy, ze n nie jest w tym momencie dowolne, a z zalozenia mialo byc tak?

wredulus_pospolitus: Marek ... dowód brzmi, że 'dowolne' n zaprzeczeniem dowodu będzie ... że jeżeli n> 'coś tam' to już ciąg przyjmuje wartości 'zbyt duże'

Marek.2: ja juz sie tak motam, sory ze tak pisze rozlaźle, ale jestem zmeczony, jutro kolokwium... a

	1
mi sie wszystko myli...czyli dobrze zrobilem n>		ze to jest prawda i wtedy ciag
	M

ograniczony? i tak samo z tamtym?

wredulus_pospolitus: definicja ∃_M>0 ∀_n |a_n| < M niech M=2

	1		1
0 < an =		≤		= 1 < 2 = M
	n		1

c.n.w.

Marek.2: no ale np do tego:

n+1
	to zawsze bedzie wieksze od zera ale zawsze rosnie do nieskonczonosci to ten ciag
101

nie jest ograniczony z dolu przez 0?