liczby zespolone aniiiiiiiii: obliczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a (1+i)¹⁰ czyli z=1+i zⁿ=|z|ⁿ(cosnφ+isinnφ) |z|=√2

	√2		√2
cosφ=		sinφ=		bedzie w 1 cwiartce
	2		2

czyli

	π
φ=
	4

	π		π
z10=25(cos10*		+isin(10*		)
	4		4

da sie jeszcze cos z tym zrobic tzn mam wrazenie ze cos z okresowoscia cos mozna ale nie wiem

	π
co skoro ma okres 2π to zostanie mi z tego
	2

irena_1:

	π		5		π
10*		=		π=2π+
	4		2		2

	5		π		5		π
cos		π=cos		i sin		π=sin
	2		2		2		2

irena_1: z¹⁰=32(0+1i)=32i

aniiiiiiiii: mam jeszcze taki przykład( bardziej w nim chodzi mi o ten kąt) (p{3]−i)⁶⁰ |z|=2

	√3		−1
cosφ=		sinφ=		IV cwiartka
	2		2

	π		11
φ=2π−		=		π
	6		6

aniiiiiiiii: jezeli ten kąt jest dobrze to z⁶⁰=−2⁶⁰

irena_1:

	11
φ=		π
	6

	11
60*		=110
	6

110π=55*2π cos110π=cos0=1 i sin110π=sin0=0 z⁶⁰=2⁶⁰(cos110π+i sin110π)=2⁶⁰(cos0+i sin0)=2⁶⁰(1+0i)=2⁶⁰

aniiiiiiiii: ok dziękuje

	(1+i)9
mam jeszcze jedno zadanie
	(1−i)7

czyli z₁=(1+i)⁹ z₂=(1−i)⁷ |z₁|=√2 φ=^π₄ I cw

	π		3π
|Z2|=√2 φ2=π−		=		II cwiartka
	4		4

jtak mam to obliczyc z takiego wzoru

	z1n		|z1|n
		n=		(cosn(φ1−φ2)+isinn(φ1−φ2))
	z2		|z2|n

irena_1:

(1+i)9		1+i
	=(		)7*(1+i)2=(*)
(1−i)7		1−i

1+i		(1+i)2		1+2i−1
	=		=		=i
1−i		1−i2		2

(*)=i⁷*(1+2i−1)=(i²)³*i*2i=(−1)³*2i²=−1*(−2)=2 sprawdź jeszcze...

aniiiiiiiii: aaa nie wpadłabym ze tak można ok czyli |z|=2 φ=π

irena_1:

	7
φ2=		π (cosinus dodatni i sinus ujemny jest w IV ćwiartce)
	4

W liczniku będzie

	9		9		π		π
(√2)9(cos		π+i sin		π)=(√2)9(cos		+i sin		)
	4		4		4		4

W mianowniku:

	49		49		π		π
(√2)7(cos		π+ i sin		π)=(√2)7(cos		+i sin		)
	4		4		4		4

Czyli wartość liczby: (√2)²(cos0+i sin0)=2(1+0i)=2

aniiiiiiiii: dlaczego sinus ujemny?

irena_1:

	√2		√2
Bo jest 1−i=√2(		−		i)
	2		2

aniiiiiiiii: no tak racje źle wyliczyłam sobie tego sinusa i mi w ogole ta IV ćwiartka nie pasowała do tego, w sumie to pomyslilam wszystko ale juz wiem dziękuje

irena_1:

aniiiiiiiii: jeszcze mam pytanie mam nadzieje że nie masz mnie jeszcze dość zapisac w postaci wykładniczej 1+i wzor to e^iφ=cosφ+isinφ cyli tak jak jest np e^x+y=e^xe^y to w tym bedzie e¹⁺ⁱ=e(cos1+isin1)