Funkcja odwrotna stawemi: Zbadać czy istnieje funkcja odwrotna: f(x) = x⁴ + 4 dla x ≥ 0 −x⁴ + 4 dla x < 0 Sprawdzam czy funkcja jest różnowartościowa i mam dwa przypadki, xz, x2 ≥ 0 i x1, x2 < 0 i wychodzi, że jest. Ale w podręczniku w innym przykładzie rozpatrzono trzeci przypadek, w którym wiadomo, że x1 i x2 nie będą równe, czyli funkcja nie będzie różnowartościowa. Ale w tym przykładzie w odpowiedzi jest, że istnieje funkcja odwrotna. Mógłby ktoś to wytłumaczyć? Czy to jest dobry schemat do rozwiązania tego zadania?

PW: Ten trzeci przypadek x₁<0<x₂ jest niezbędny, bo w definicji stoi: dla dowolnych x₁ i x₂ należących do dziedziny. Biorąc tylko x₁, x₂ ∊[0,∞) lub x₁, x₂ ∊ (−∞, 0) udowodniłeś w gruncie rzeczy, że 1° funkcja jest rosnąca na [0,∞) 2° funkcja jest rosnąca na (−∞, 0). Łatwo narysować wykres funkcji spełniającej 1° i 2°, ale nie różnowartościowej na całej osi R.

stawemi: No tak, ale przecież jak x1 będzie większy od 0, a x2 mniejszy, to nie wyjdzie, że są równe, a przecież taki jest warunek różnowartościowości f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 prawda? Więc jak to może być różnowartościowe, nie mogę tego zrozumieć

PW: Jeżeli x₁<0, to f(x₁) = −(x₁)⁴+4, a jeżeli jednocześnie x₂≥0, to f(x₂) = x₂⁴+4. f(x₂) − f(x₁) = x₂⁴+4 − (−x₁⁴+4) = x₂⁴+4 +x₁⁴ − 4 = x₂⁴ + x₁⁴ > 0. Ostatnia nierówność wynika z faktu, że co najmniej jedna z licz x₁, x₂ jest różna od zera. Wniosek: f(x₂) − f(x₁) > 0, czyli f(x₂) > f(x₁) . Jest to nie tylko stwierdzenie, że różnym argumentom przyporządkowane są różne wartości funkcji, ale nawet ostatnia z nierówności potrzebnych do udowodnienia, że f jest rosnąca na całej osi R. Przedtem pokazaliśmy (?), że jest rosnąca na [0,∞) i rosnąca na (−∞,0). A nie możesz zrozumieć, bo kurczowo się trzymasz implikacji f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂, która ma równoważną postać x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂). Tę ostatnią byłbym skłonnym przyjąć za definicję (różnym iksom przyporządkowane różne wartości funkcji) − bardziej oddaje sens określenia "różnowartościowa". Taką też przyjąłem strategię dowodu − brałem dwa różne iksy i pokazywałem, że wartości funkcji są różne (różnica jest liczbą dodatnią).