Indukcja johny: Witam, mam problem z następującymi zadaniami. Bardzo prosiłbym o pomoc. Chodzi o indukcję. 1. Wykaż, że liczba 2²ⁿ ma na końcu w zapisie dziesiętnym cyfrę 6. 2. 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n > √n

wredulus_pospolitus: 1) krok 1 n=0 2²⁰ = 2¹ = 2 bzduuura n=1 2²¹ = 2² = 4 bzduuura n=2 2²² = 2⁴ = 16 ok krok 2 n=k 2^2k ma w zapisie dziesiętnym na końcu cyfrę 6 krok 3 n=k+1 2^2k+1 = 2^2*2k = (2^2k)² = ('coś co ma w zapisie na końcu 6)² 6² = 36 −> 6 nadal na końcu w zapisie dziesiętnym prawda dla n≥2

PW: 1. Prawdziwe dla n=2: 2²² = 16 Zakładamy prawdziwość dla n=k: 2^2kma ostatnią cyfrę 6. Teza indukcyjna: twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1: 2^2k+1 ma ostatnią cyfrę 6. Dowód. 2^2k+1 = 2^2k•2 = (2^2k)² jest kwadratem liczby kończącej się cyfrą 6 (w tym miejscu stosujemy założenie indukcyjne), a więc też kończy się cyfrą 6. Zastosowanie zasady indukcji kończy dowód.

johny: Wielkie dzięki za pomoc, ale nadal nie mam pomysłu jak poprawnie zapisać to drugie zadanie z pierwiastkami.

PW: Czego "nie umiesz poprawnie zapisać"? Napisz, co już wiesz − sprawdzenie dla początkowej n₀, założenie indukcyjne, tezę indukcyjną. Dopiero w dowodzie mogą się pojawić wątpliwości.

johny: Wyszło mi, że to prawda dla n≥2. Mam coś takiego i nie wiem jak dalej to zrobić. 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√k + 1/√k+1 > √k + 1/√k+1

wredulus_pospolitus:

	1
√k +		?>? √k+1 /*√k+1
	√k+1

√k*√k+1 + 1 ?>? k+1 √k*√k+1 > √k*√k = k c.n.w.

wredulus_pospolitus: albo jak wolisz to w ciągu

	1		√k*√k+1 + 1		√k*√k + 1
√k +		=		>		=
	√k+1		√k+1		√k+1

	k+1
=		= √k+1
	√k+1

c.n.w.

johny: Dziękuję