granica ciagurekurencyjnego marianihela: Witam! Mam problem z ciagami rekurencyjnymi. Otoz mam do zrobienia takie zadanie :

	xn
Ciąg (xn) jest okreslony rekurencyjnie. X1 = 2, xn+1 =
	1+xn

n∊N Wykazac ze ten ciag jest ograniczony z dołu przez 0 i malejacy, obliczyc granice. Ze jest ograniczony to robie tak: 1.x₁ = 2 −−> x1≥0; 2.zalozenie x_n≥0;

	xn		0
3. dowod xn+1≥		≥		≥ 0;
	1+ xn		0+1

Ciąg jest ograniczony z dołu przez 0. Dobrze to jest jak to zrobic w razie jak jest zle?. Czy ciag jest malejacy:

	2
1. x1 = 2, x2 =		x1>x2...
	3

2. zalozenie x_n<x_n−1 3. dowod x_n+1 < x_n < x_n−1 taki zapis wystarczy czy tu cos jeszcze trzeba pisac CZy ciag ma granice....tutaj wgl nie wiem jak to podejsc nigdy nie robilem ciagow rekurencyjnych kompletnie nie wiem o co chodzi. prosze o szybką pomoc

Maslanek:

	2
Wypisując kolejne wyrazy można dojść do wniosku, że ciąg jest opisany wzorem: xn=
	2n−1

marianihela: tylko ze mozna to dowodzic co robilem (probowalem indukcyjnie)...i chchialbym zeby ktos to sprawdzil...i by poprawil co musialbym zrobic zeby dzialalo.

Maslanek: Jeśli chodzi o granicę Twoim sposobem. Określmy ją rekurencyjnie: Przypuścmy, że lim x_n = a∊R Wtedy x_n → a oraz x_n+1 → a Czyli mamy: lim x_n = lim x_n+1 = a

	xn
lim xn = lim		= a
	1+xn

	xn		lim xn		a
lim		=		=		= a
	1+xn		lim(1+xn)		1+a

Stąd a=a²+a ⇒ a²=0 ⇒a=0

Maslanek: Ogólnie raczej okej . Chociaż dowód indukcyjny wzoru gotowego byłby prostszy, a z liczeniem nie ma problemów

marianihela: oki dzieki

Godzio:

	xn		0
xn + 1 =		≥
	1 + xn		1 + 0

Tego zera formalnie nie powinno tam być bo

1		1
	≤
1 + xn		1 + 0