wielomiany
szumi: Niech w będzie wielomianem trzeciego stopnia, którego jedynymi pierwiastkami są liczby 1 i −3.
Reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x+2 jest równa 18, a reszta z dzielenia przez
dwumian x−2 jest równa 10. Znajdź wyraz wolny wielomianu w i rozwiąż nierówność w(x) <= 0.
Proszę o pomoc
13 lis 19:22
pigor: ..., np. tak : niech
w(x)=ax3+bx2+cx+d = ? i
d= ? , to
z warunków zadania i tw. Bezout'ea masz układ równań:
w(1)= a+b+c+d= 0 i w(−3)= −27a+9b−3c+d= 0 i w(−2)= 18 i w(2)= 10 ⇔
⇔ a+b+c+d= 0 i −27a+9b−3c+d= 0 i −8a+4b−2c+d= 18 i 8a+4b+2c+d= 10 ⇒
⇒ teraz pobaw się tym układem 4−ech równań liniowych ...
13 lis 19:57
szumi: dzięki
13 lis 20:48
PW: Jeżeli jedynymi pierwiastkami są liczby 1 i −3, to jedna z tych liczb jest pierwiastkiem
podwójnym (wielomian trzeciego stopnia ma albo jeden pierwiastek, albo trzy − licząc z
krotnościami). Wobec tego
(1) W(x) = a1(x−1)2(x+3)
albo
(2) W(x) = a2(x−1)(x+3)2.
Wiemy, że W(−2) = 18, więc dla (1) otrzymamy
18= a1(−2−1)2(−2+3)
co oznacza że a1=2, a dla (2)
18= a2(−2−1)(−2+3)2,
co oznacza że a2=−6.
Stosując informację, że W(2)=10 uzyskamy z kolei
10 = 2(2−1)2(2+3) albo 10 = −6(2−1)(2+3)2.
Druga wersja jest zdaniem fałszywym, zatem
W(x) = 2(x−1)2(x+3).
Wyraz wolny W(0) = 2(0−1)2(0+3) = 6.
W(x) ≤ 0 ⇔ 2(x−1)2(x+3) ≤ 0 ⇔ (x+3) ≤ 0 ⇔ x ≤ −3.
13 lis 20:50
PW: I najłatwiejsze na koniec źle!
2(x−1)2(x+3) ≤ 0 ⇔ x=1 ∨ x ≤ −3
Na szczęście już nikt tu nie zaglądał.
14 lis 08:39
wielomian: Ktoś zawsze zajrzy
20 sty 01:17