udowodnij ze 0 i 1 sa kresami Roudin: Mam taki zbior A={¹_n, n∊N } no to supremum jest rowne 1 bo dla dowolnego innego n to wyrazenie bedzie sie skurczalo, az bedzie dowolnie male wiec infA=0. Tutaj zaczynaja sie schodzy mam udowodnic ze to 1 to jest rzeczywiscie supremum a nie cos innego :< no i nie wiem jak sie za to zabrac. Tak samo musze zrobic z infA Moze ktos mi pomoc?

PW:

	1		1
Jest to oczywiste − ciąg		jest malejący, a więc		∊A jest jego największym
	n		1

elementem.

wredulus_pospolitus: zacznijmy od tego −−− czy znasz definicję sup A i inf A

Roudin: E=supA ∀n∊A n≤E ∀ε>0 ∃n∊A : n>E−ε E=infA ∀n∊A n≥E ∀ε>0 ∃n∊A : n<E+ε to def

PW: Matko jedyna, tu widać jak "formalizmy" utrudniają zrozumienie istoty rzeczy. A "swoimi słowami" rozumiesz?

Roudin: no kres dolny to najwieksze ograniczenie dolne a kres gorny to najmniejsze ograniczenie gorne

MQ: To zdanie: ∀ε>0 ∃n∊A : n>E−ε nie jest prawdziwe dla supremum. Tak jak i to: ∀ε>0 ∃n∊A : n<E+ε dla infimum.

MQ: Sorry są prawdziwe

wredulus_pospolitus: skoro wiesz 'co to jest' no to 1) kres górny wykazujesz, ze ciąg jest monotoniczny (malejący) −> wniosek: a₁ = sup A 2) kres dolny 0 jest granicą ciągu więc istnieje 'podejrzenie', że to jest inf A wystarczy dowód nie wprost: załóżmy, że ∃_m>0 ∀_n∊N a_n ≥ m

	1
oznaczmy m =
	k

	1		1		1		1
w takim razie		≥		=> k≥n => ∀n>k		<		= m
	n		k		n		k

sprzeczność

Roudin: Aha to juz rozumiem dziekuje