Zadanie
Maslanek: Niech {x
n} będzie dowolnym ciągiem ograniczonym. Tworzymy nowe ciągi {a
n} , {b
n} przyjmując
,że a
n=inf{x
k: k≥n} i b
n=su
√xk: k≥n, n∊N.
Pokazać, że ciągi {a
n} i {b
n} są zbieżne (do granic właściwych).
Rozwiązanie:
Wiemy, że: inf x
k=m≤x
n≤M=sup x
k
(1) Pokażemy, że {a
n} jest zbieżny, więc, że jest:
(a) ograniczony
(b) monotoniczny
(a) Mamy, że {a
n}⊂{x
n} (wyrazy ciągu (a
n) są wyrazami ciagu (x
n) − czy taki zapis jest
ok?), zatem: m≤a
n≤M, czyli ciąg jest ograniczony.
(b) Pewne jest, że a
1=inf x
n=inf a
n.
Niech k
0 będzie najmniejszym indeksem, dla którego x
k+1>inf{x
k}
Wtedy dla n≤k
0 a
n=inf x
n.
Następnie mamy dla n>k
0 a
n>inf x
n.
Niech wtedy liczba g będzie kresem dolnym ciągu y
n=x
n dla n>k
0.
Niech k
1 będzie najmniejszym indeksem, dla którego x
k+1>inf{y
k}
Wtedy dla k
0<n≤k
1 mamy a
n=inf y
n>inf x
n.
Tok rozumowania powtarzamy aż do chwili, gdy osiągniemy kres górny pewnego ciągu m
n, mniejszy
bądź równy sup x
n.
Ciąg (a
n) jest zatem ciągiem niemalejącym.
wniosek: z monotoniczności i ograniczoności ciągu (a
n) wynika zbieżność do granicy właściwej.
−−−−−−−−−−−
Jak to brzmi?
Maslanek: Hmm... Podciąg ciągu (x
k) z prawie wszystkimi wyrazami ciągu (x
k)
Podciąg rozumiany w ten sam sposób co poprzednie o tej właściwości, że inf m
n > inf k
n > ...
> ifn y
n > inf a
n
(domyślam się, ale nie ma tego wytłumaczonego)