analiza PuRXUTM:

	1
Udowodnić że ciąg an=(1+		)n jest zbieżny
	n

Wrzucę zaraz swoje obliczenia, jak ktoś może niech rozwiąże "po swojemu"

PuRXUTM: badamy monotoniczność ciągu

an+1		1   (1+ )n+1   n+1
	=		=
an		1   (1+ )n   n

1   1   (1+ )n*(1+ )   n+1   n+1
	=
1   (1+ )n   n

	1		1   1+   n+1
(1+		)*(		)n=
	n+1		1   1+   n

	1		1   1   1   1+ + −   n   n+1   n
(1+		)*(		)n=
	n+1		1   1+   n

	1		1   1   − n+1   n
(1+		)*(1+		)n
	n+1		1   1+   n

Korzystamy z nierówności Bernoulliego

	1		1   1   − n+1   n
(1+		)*(1+		)n ≤
	n+1		1   1+   n

	1		1   1   − n+1   n
(1+		)*(1+n*		)
	n+1		1   1+   n

ciąg dalszy nastąpi

PuRXUTM:

	1		−1   n+1		1		−n
=(1+		)*(1+		)=(1+		)(1+		)=
	n+1		1   1+   n		n+1		(n+1)2

	1		n2+n+1
(1+		)(		) to dąży wg mnie do 1, a na ćwiczeniach miałem że to jest >1
	n+1		(n+1)2

PuRXUTM: gdzie jest błąd

MathGym: Mówimy, ze ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista g taka, że ∀⋀ε>0∃δ>0∀n>δ |a_n − g| < ε zatem wystarczy policzyć granicę;

	1
limn→∞(1+		)n = e
	n

PuRXUTM: ale my mamy udowodnić że ciąg jest zbieżny chyba z definicji, że musi być monotoniczny itd.

Mila: Granica tego ciągu to liczba e. http://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego http://www.fuw.edu.pl/~maciejun/MatematykaI-10-11/Tematy/Liczbae.pdf

Godzio: To nie ma dążyć tylko ma być większe od 1, musisz jeszcze dopracować

Godzio:

n + 2		n2 + n + 1		n3 + 3n2 + 3n + 2
	*		=		=
n + 1		(n + 1)2		(n + 1)3

	(n + 1)3 + 1		1
=		= 1 +		> 1
	(n + 1)3		(n + 1)3

	1
Teraz pokaż, że (1 +		)n < 3 (można pokazać dla większej liczby, bo wystarczy
	n

ograniczoność, ale chcemy w miarę optymalnie )

PuRXUTM:

	1
Godzio ale dla dużych n 1+		=1 inaczej mówiąc dla prawie wszystkich jest równe 1
	(n+1)3

(wszystkich poza skończoną ilością), nie rozumiem...

PuRXUTM: a co do ograniczoności to też nie wiem... miałem na ćwiczeniach że rozpisywałem to z dwumianu Newtona

1

n 0

n 1

1

n 2

1

n 3

1

(1+

)n=

*1+

1*

+

*

+

*

...=

n

n

n2

n3

	1		n(n−1)		1		n(n−1)(n−2)		1
1+n*		+		*		+		*		=
	n		2!		n2		3!		n3

	1	(n−1)		1		(n−1)(n−2)
1+1+			+		*		...=
	2!	n		3!		n2

	1		1		1		1		2
1+1+		(1−		)+		*(1−		)(1−		)... czyli to zbiega do
	2!		n		3!		n		n

	1		1		1
1+1+		+		+		+... no i teraz muszę wykazać że
	2!		3!		4!

1		1		1
	+		+		+... tylko jak to zrobić
2!		3!		4!

PuRXUTM: up

Krzysiek: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_5:_Obliczanie_granic

PuRXUTM: a dlaczego przy tej nierówności Bernoulliego jest < zamiast ≤

Krzysiek: nie wiem o co pytasz...

PuRXUTM: na tej stronie co wrzuciłeś jest w nierówności zastosowane < zamiast ≤

Krzysiek: ale możesz przepisać ten fragment albo która linijka? no i czy chodzi Tobie o dowód liczby 'e' czy nierówności Bernoulliego

PuRXUTM: Stosując nierówność Bernoullego (patrz uwaga 2.16.) .... i to poniżej

Krzysiek: no i jest tam napisane,że równość (przy nierówności Bernoulliego )zachodzi tylko dla x=0 a tu 'x' nie może być równy zero.

PuRXUTM: aha dzięki wielkie ! czyli że jest rosnący wiemy na pewno a to że

	1		1		1
		+		+...+		<1 można jakoś inaczej niż korzystając z tego lematu
	2!		3!		n!

Maslanek:

	1		1		1
a dać ciąg większy		+		+		+... → ln2 < 1?
	2		3		4

Krzysiek: możesz ograniczyć ten ciąg przez jakąś dużą liczbę, ale tu nawet nie ma co korzystać z tego lematu, bo przecież to 'widać'

1		1		1		1		1		1
	+		+...+		<		+		+...+
1*2		1*2*3		1*2*3*...*n		2		2*2		2*2*...*n

przecież jak każdą liczbę większą od '2' zastąpisz dwójką to ułamki się zwiększą.

Godzio: PuRXUTM za często używasz słowa "zbiega", tutaj masz zwykłe szacowanie, żadnego liczenia granic