nierówność z wartością bezwzględną ryba: 2|x−1|≤−x+7

PW: Lewaq strona jest liczbą nieujemną dla każdej x∊R, dlatego rozwiązań należy szukać wśrów takich x, dla których prawa strona jest nieujemna: −x + 7 ≥ 0 x∊(−∞, 7]. Rozwiązujemy więc nierówność 2|x−1| ≤ −x+7, ,x∊(−∞, 7]. Obie strony sąliczbami nieujemnymi dla wszystkich x z dziedziny, tak więc po podniesieniu obu stron do kwadratu uzyskamy nierówność równoważną: 4|x−1|² ≤ (−x+7)², x∊(−∞, 7]. 4(x−1)² ≤ (−x+7)², x∊(−∞, 7]. To zwykła nierówność kwadratowa, potrafimy ją rozwiązać (pamiętając o dziedzinie).

irena_1: można rozbić na przedziały: x<1 2(1−x)≤−x+7 2−2x≤−x+7 −x≤5 x≥−5 x∊<−5; 1) x≥1 2(x−1)≤−x+7 2x−2≤−x+7 3x≤9 x≤3 x∊<1; 3> x∊<−5; 3>

ryba: rozwiązałem to właśnie sposobem ireny ale nie byłem pewien, dzięki

PW: Ucz się i innych sposobów. Matematyka zaczyna się tam, gdzie przestajemy stosować gotowe utarte schematy, a zaczynamy myśleć przekornie − a nie można do tego dojść inną drogą? Rozwiązuję do końca, żebyś nie myślał rybo, że coś tu kręcę. 4(x−1)² ≤ (−x+7)², x∊(−∞, 7]. 4x²−8x+4 ≤ x²−14x+49, x∊(−∞,7) 3x²+6x−45 ≤ 0, x∊(−∞,7) x² + 2x −15 ≤ 0, x∊(−∞,7) (x−3)(x+5) ≤ 0, x∊(−∞,7) x∊[−5,3]∩(−∞,7) x∊[−5,3]

ryba: PW twój sposób też wcześniej rozwiązałem ale jednak wole przedziały

PW: A ja nie cierpię tej dłubaniny, w dodatku łatwo się pomylić przy większej liczbie przedziałów. Dlatego zawsze próbuję innego sposobu.

Jolanta: A może tak 2|x−1| ≤ −x+7 /:2

	1
|x−1| ≤ −		+3,5
	2

	1		1
x−1 ≤−		x +3,5 i x−1 ≥−		x−3,5
	2		2

1,5x ≤4,5 0,5x ≥−2,5 x ≤ 3 i x ≥−5 x∊<−5, 3>

ryba: a takie pytanie PW skąd wiemy, że trzeba podnieść do kwadratu obie strony?

PW: Nie tyle trzeba pytać "skąd wiemy", ile "dlaczego tak można". Dlatego tak można, że dla u₁, u₂ ≥ 0 u₁ < u₂ ⇔ u₁² < u₂². Jest to formalny zapis faktu, że dla dodatnich u funkcja u² jest rosnąca (nierówność między argumentami jast taka sama jak między ich kwadratami). A po co to robimy? − Bo w ten sposób pozbywamy się wartości bezwzględnej, gdyż |z|² = z². Przykład na użyteczność tego działania. Rozwiąż nierówność |(x−3)(x+7)| ≤ |(x−1)(x+5)| − będziemy beznadziejnie "rozbijać na przedziały" (a będzie ich pięć), czy skorzystamy z możliwości podniesienia do kwadratu? Wprawdzie uzyskamy nierówność czwartego stopnia, ale może nie tak kłopotliwą rachunkowo jak pięć nierówności? Nie wiem, ale spróbowałbym wersji z jedną nierównością.

ryba: no tak o takie pytanie mi chodziło odpowiedź jasna i oczywista, dziękuję