granice zadanie: jak obliczyc taka granice: lim p(n²){n} (pierwiastek z n stopnia n²) ?

zadanie: mozna wykorzystac kryterium D'Alemberta

zadanie: poprosilbym o pomoc

Mila: Dlaczego zaczynasz od trudnych? lim_n→∞(ⁿ√n)=1 podstawowe tw. z teorii granic.

zadanie: a_n=ⁿ√ⁿ√n=ⁿ√1→1 tak?

Mila: Granica 1. zapis niezbyt dobry.

zadanie: Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

	3n2+2*6√nk+1
lim		istnieje i jest liczba rzeczywista dodatnia.
	n2+5*3√n7+7+7*√n5+5

Obliczyc wartosc granicy przy tak wybranej liczbie k. Rozwiazanie: Dzielac licznik i mianownik danego wyrazenia przez n^5/2 otrzymujemy

	3n2+2*6√nk+1
lim		=
	n2+5*3√n7+7+7*√n5+5

teraz napisze licznik i mianownik odzielnie zeby bylo lepiej widac

	3
licznik:		+2*6√nk−15+1/n15
	n1/2

	1
mianownik:		+5*3√1/n1/2+7/n15/2+7*√1+5n5←5/n5
	n1/2

Mianownik ostatniego wyrazenia dazy do 7 przy n→∞, natomiast licznik ma granice skonczona dodatnia dla k =15 i granica licznika jest wtedy równa 2. Odpowiedz: Przy k =15 granica jest równa 2/7. Uwaga: Liczba k =15 jest jedyna liczba spełniajaca warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazac k, bez koniecznosci uzasadnienia, ze takie k jest tylko jedno.

zadanie: nie rozumiem tego rozwiazania a konkretnie dlaczego dzielimy prze n^5/2 i skad sie bierze k=15 ? moglbym prosic o wytlumaczenie? wiem, ze te zapisy nie sa zbyt czytelne ale mam nadzieje, ze da sie zrozumiec

zadanie: ?

Mila: Czekaj.

Mila:

1
	→0 dla n→∞
n

W mianowniku chcemy otrzymać po podzieleniu przez ( n^m) sumę składników dążących do zera i do stałej różnej od zera. Dzielimy przez n^5₂ Popatrz na składniki mianownika:

	n2		1
n2< n52⇔		=		→0⇔
	n52		√n

³√(n⁷/n^15₂+(7)/n^15₂= po włączeniu pod pierwiastek podniosłam dzielnik do 3 potęgi

	1		7
mamy pod pierwiastkiem składnik :		+		→0
	√n		√n15

Ostatni składnik 7*√1+(5/n⁵)→7 Teraz licznik:

3n2		1
	=		→0
n352		√n

	6√nk+1
2*		po włączeniu po pierwiastek,
	n52

najpierw sprowadzam n^5₂do 6 stopnia n^5₂=n^15₆ Mamy pod pierwiastkiem:

nk		1		1
	+		=nk−15+
n15		n15		n15

	1
Chcemy aby 2*(nk−15+		) miało granicę różna od zera , to będzie dla
	n15

k−15 =0⇔k=15

	0+2*1		2
Lim(...)=		=
	0+0+7		7

zadanie: dziekuje bardzo

Mila: Zrozumiałe te moje wywody, czy wątpliwości rozwiane?

zadanie: zobaczymy w praktyce

zadanie: teraz probuje zrozumiec ta granice z liczba k

zadanie: mam pytanie mozna probowac obliczac ta granice normalnie tzn. z tym k i potem zobaczyc (dobrac) odpowiednia liczbe tak,zeby ta granica wyszla?

Mila: No to jak to chcesz liczyć?

zadanie: nie wiem

zadanie: mam pytanie w zwiazku z powyzszym zadaniem

3√n7+7
	(wyrazenie 3√n7+7 zostalo podzielone przez n5/2) i teraz rozumiem,
n5/2

zeby moc podzielic kazdy ze skladnikow znajdujacy sie pod tym pierwiastkiem nalezy n^5/2 (czyli przez to przez co dzielimy) podniesc do potegi trzeciej w tym przypadku (bo pierwiastek trzeciego stopnia) zeby to bylo prawdziwe

	3√8		2		1
np.		=		=
	4		4		2

	8		8		1		1
3√		=3√		=3√		=
	43		64		8		2

jezeli bylby pierwiastek 2 stopnia to do drugiej potegi, czwartego stopnia to do czwartej potegi itd. tak?

Mila:

√n7
	= włączam n pod pierwiastek drugiego stopnia⇔
n

√n7
	=√n7/n2=√n5
√n2

3√n7
	włączam n pod pierwiastek trzeciego stopnia⇔
n

3√n7
	=√n7/n3=√n4
3√n3

6√nk		6√nk
	=		=√nk−6
n		6√n6

Pod wspólnym pierwiastkiem możesz zapisać iloczyn, iloraz pierwiastków tego samego stopnia. Jakie inne sytuacje jeszcze masz niejasne?

zadanie: teraz probuje zrobic kolejne zadanie tego typu

zadanie: Wskazac liczbe naturalna k, dla ktorej granica

	√n14+9n9+1−n7
lim		istnieje i jest liczba rzeczywista dodatnia. obliczyc wartosc
	nk

granicy przy tak wybranej liczbie k.

√n14+9n9+1−n7		n14+9n9+1−n14   √n14+9n9+1+n7
	=		=
nk		nk

	9n9+1		9n9+1
=		=		(po wylaczeniu n14 z pierwiastka)
	nk(√n14+9n9+1+n7)		2*nk+7

n9(9+1n9)
	czyli n9 musi sie skrocic, zeby tak bylo to k+7=9 czyli k=2
2*nk+7

	9
i wtedy granica wynosi
	2

dobrze? tzn. w odpowiedzi tez tak jest ale tam pisze, ze dziela licznik i mianownik przez n⁹ ja tak nie zrobilem i tez wyszlo dobrze moze z powodu latwiejszego przykladu przy bardziej skomplikowanym chyba lepiej podzielic?

Mila: Dobrze . Rozpisuję wyłączenie z mianownika: √n¹⁴+9n⁹+1+n⁷=n⁷*(√1+(9/n⁵)+(1/n¹⁴)+1)

zadanie:

	1		1		1
np. jak mam taka granice lim=		+		+...+		to ograniczam ten ciag z
	n2		n2+1		(n+1)2

	1+1+1+1+...+1
gory i z dolu np. tak z gory: ...≤		ale co teraz? ile wynosi ta suma z
	n2

jedynkami? mozna w ogole tak ograniczyc. bo czasami robimy tak, ze bierzemy liczbe wyrazow i mnozymy przez jakis tam skladnik aczasami szukamy odpowiedniego wspolnego mianownika i dodajemy liczniki od czego to zalezy?

Mila: (n+1)²=n²+2n+1 z prawej strony zmniejszamy mianownik, z lewej zwiększamy. k=2n+1+1=2n+2 ( zaczynamy od zera : n²+0,n²+1,n²+2...+n²+2n+1}

zadanie: dziekuje

zadanie: ograniczam z gory:

	(2n+2)*1
...≤		→0
	n2

ograniczam z dolu:

	2n+2		2n+2
...≥		=		→0
	(n+1)2		n2+2n+1

na mocy tw. o 3 ciagach wyjsciowy ciag dazy do 0.

Mila:

2n+2		2(n+1)		2
	=		=		→0
(n+1)2		(n+1)2		n+1

zadanie: ile jest skladnikow w tej sumie?

np+1		np+8
	+		+...+
√900n900+1		√900n900+32

	np+k3		np+8n18
+		+...+
	√900n900+k5		√900n900+32n30

pierwsze skladniki licznika i mianownika sa takie same patrze na drugie skladniki w liczniku 1, 8,...,k³,..., 8n¹⁸ czyli 1³, 2³, 3³, 4³, 5³,...k³,....2³*n³*n¹⁵ w mianowniku 1,32,....,k⁵,....,32n³⁰ czyli 1⁵, 2⁵,...k⁵,...2⁵*n⁵*n²⁵

zadanie: dalej jakas wskazowka?

zadanie: ?

Mila: Ostatnie wyrazy przedstaw w postaci potęgi: 8n¹⁸=... 32n³⁰=...

zadanie: 8n¹⁸=(2n⁶)³ 32n³⁰=(2n⁶)⁵ czyli wyrazow jest 2n⁶ dobrze?

Mila: Tak.

zadanie: mam pytanie jak sprawdzic czy sie dobrze wyznaczylo liczbe skladnikow w ciagu?

Mila: Ze wzoru na a_n.

zadanie: no tak ale np. w tym przykladzie powyzej z 18:39 ?

Mila: Tam masz 5 potęgi kolejnych liczb naturalnych. Ostatni wyraz: .2⁵*n⁵*n²⁵=2⁵*n³⁰=(2n⁶)⁵ jednoznacznie wyznaczone

zadanie: jakie jest tam a_n?

zadanie: dziekuje

zadanie:

n		n+1		n+2		n+3		9n
	+		+		+		+...+
√n4+n		√n4+n+1		√n4+n+2		√n4+n+3		√n4+9n

a w tym ciagu liczac liczbe skladnikow zwracac uwage na n czy nie? bo n jest w kazdym wyrazeniu.

zadanie: ?

Mila: Ostatnie rozpisać: 9n=n+(8n) licznik n⁴+9n=n⁴+n+8n mianownik

zadanie: ale 8n czy 8n+1

Mila: wyrazów jest ( 8n+1).

zadanie: dziekuje