analiza PuRXUTM: Mam taki dowód który średnio rozumiem: Udowodnić że jeżeli lim_n→∞ a_n=g to g jest jedyne Dowód nie wprost: Załóżmy że g₁≠g₂ lim_n→∞ a_n=g₁ lim_n→∞ a_n=g₂ ∀ε>0 ∃n₀ ∀n≥n₀ |a_n−g|<ε ∀ε>0 ∃n₀ ∀n≥n₀ |b_n−g|<ε g₁+ε<g₂−ε

	g2−g1
czyli ε<
	2

	g2−g1
możemy sobie przyjąć (chyba o to chodzi) że ε=
	3

o co chodzi z dalszą częścią ∃n₁ ∀n≥n₁ a_n∊(g₁− ε;g₁+ε) ∃n₂ ∀n≥n₂ a_n∊(g₂− ε;g₂+ε) n≥max{n₁,n₂} i mam poniżej napisane że nie może istnieć takie a_n żeby należało do g₁ i g₂, nie rozumiem

Krzysiek: ogólnie chodzi o to,że w otoczeniu granicy od pewnego 'n' muszą należeć wszystkie wyrazy tego ciągu. więc jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu będą należeć do otoczenia jednej granicy to nie będą należeć do drugiego. Teraz tylko wystarczy wybrać takie przedziały aby były rozłączne Czyli wybierasz taki epsilon by (g−ε,g+ε) i (h−ε,h+ε) były rozłączne.

wmboczek: jeżeli istniałyby 2 różne granice, to za każdego episolona można by wziąć liczbę mniejszą niż połowa odległości granic. Ele wówczas znajdzie się takie miejsce w ciągu, ze paski zbieżności są rozłączne mimo że pochodzą z tego samego ciągu, a to jest sprzeczne z def zbieżności

MQ: Coś z początkiem masz nie tak, bo wg mnie powinno być: Załóżmy g₁<g₂ ∀ε>0 (∃n₁ ∀n≥n₁ |a_n−g₁|<ε) ⋀ (∃n₂ ∀n≥n₂ |a_n−g₂|<ε) Teraz wybieramy takie ε, że: g₁+ε<g₂−ε itd.

PuRXUTM: czyli może ktoś to ładnie od początku do końca wyjaśnić

MQ: Jeśli wybierzemy takie ε, że g₁+ε<g₂−ε, to otoczenia g₁ i g₂ będą rozłączne, tzn. nie będą miały punktów wspólnych. Ale ponieważ g₁ i g₂ są granicami a_n, więc: ∃n₁ ∀n≥n₁ |a_n−g₁|<ε ∃n₂ ∀n≥n₂ |a_n−g₂|<ε co można inaczej zapisać: ∃n₁ ∀n≥n₁ a_n∊(g₁− ε;g₁+ε) ∃n₂ ∀n≥n₂ a_n∊(g₂− ε;g₂+ε) Teraz wybieramy n≥=max{n₁,n₂} Dla takiego n powinno więc zachodzić: a_n∊(g₁− ε;g₁+ε) ⋀ a_n∊(g₂− ε;g₂+ε) Ale te obszary są rozłaczne! Mamy więc sprzeczność.

Krzysiek: na początku masz definicję podaną, g₁+ε<g₂−ε −wtedy te przedziały są rozłączne wybierasz ten epsilon a dalej masz za pomocą symboli napisane to co ja wyżej napisałem,że od pewnego 'n₁ ,n₂' wyrazy ciągu muszą należeć do otoczenia granicy g₁ ,g₂ co nie jest możliwe.

PuRXUTM: dzięki wielkie !