funkcje takitamktos: Wykaż, że funkcja określona wzorem: f(x)=3x²+2x+3/x²+1, gdzie x∊R przyjmuje najmniejszą wartość 2 a największą wartość 4.

takitamktos: 3x²+3/x²+1 + 3/x²+1 = 3 + 3/x²+1 Co dalej?

pigor: ...., wykaż, że funkcja określona wzorem: f(x)= (3x²+2x+) / (x²+1), x∊R przyjmuje najmniejszą wartość 2 , a największą wartość 4. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− elementarnie (bez pochodnych) np. tak : w zbiorze R

	3x2+2x+3
y=		⇔ yx2+y= 3x2+2x+3 ⇔
	x2+1

⇒ (*) (3−y)x²+2x+3−y= 0 − równanie kwadratowe z parametrem y ma pierwiastki x ⇔ Δ= 4−4(3−y)² ≥0 /:4 ⇔ 1−(3−y)² ≥ 0 ⇔ (y−3)²−1 ≤ 0 ⇔ (y−3−1)(y−3+1) ≤ 0 ⇔ ⇔ (y−4)(y−2) ≤ 0 ⇔ 2 ≤ y ≤ 4 c.n.w. , przy czym y=f(x)=2=f_min przyjmuje dla x²+2x+1=0 ⇔ (x+1)²=0 ⇔ x= −1 zaś y=f(x)=4=f_max przyjmuje dla −x²+2x−1=0 ⇔ (x−1)²=0 ⇔ x=1. ...

takitamktos: Δ= 4−4(3−y)2 ≥0 nie ogarniam tego "≥0" w równaniu z deltą...

PW:

	3x2+2x+3		4x2+4		−x2+2x−1		(x−1)2
f(x)−4 =		−		=		= −		≤ 0,
	x2+1		x2+1		x2+1		x2+1

czyli f(x) ≤ 4, przy czym dla x=1 ma miejsce równość, f(1) = 4, co łatwo sprawdzić. Wniosek: f(1) = 4 = f_max. To samo dla minimum:

	3x2+2x+3		2x2+2		x2+2x+1		(x+1)2
f(x)−2 =		−		=		=		≥ 0,
	x2+1		x2+1		x2+1		x2+1

przy czym równość ma miejsce dla x= −1. Wniosek: f(x) ≥ 2, f(−1) = 2 = f_min. Byłem bardziej leniwy i skorzystałem z podpowiedzi zawartej w treści zadania (minimum i maksimum były podane, wystarczyło tylko sprawdzić).

takitamktos: czemu f(x)−4?

takitamktos: jak zwinąć −x²+2x−1 ?