Równania zespolone mark07: W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż podane równania: c) z² + (1 − 3i)z − 2 − i = 0; Delta wychodzi mi 8 − 2i, czyli √Δ = √8−2i i nie wiem co z tym mam zrobić. Jak to policzyć / zapisać? Z góry dziękuje za pomoc.

Janek191: z² + ( 1 − 3i ) z − 2 − i = 0 Δ = ( 1 − 3 i)² − 4*1*( − 2 − i ) = 1 − 6i − 9 + 8 + 4i = − 2i

Janek191: z² + ( 1 − 3i ) z − 2 − i = 0 Δ = ( 1 − 3 i)² − 4*1*( − 2 − i ) = 1 − 6i − 9 + 8 + 4i = − 2i więc √Δ = − 1 + i lub √Δ = 1 − i

Mila: z² + (1 − 3i)z − 2 − i = 0; Δ=(1−3i)²−4*(−2−i)=1−6i+9i²+8+4i=1−2i−9+8=−2i Δ=sqt(−2i)=1−i, bo (1−i)²=1−2i+i²=−2i

	−1+3i−(1−i)		−1+3i+1−i
z=		lub z=
	2		2

	−2+4i
z=		lub z=i
	2

z=−1+2i lub z=i

Janek191:

	3i − 1 − ( − 1 + i)
z1 =		= i
	2

	3i − 1 + ( − 1 + i )
z2 =		= − 1 +2i
	2

	3i − 1 − ( 1 − i)
z3 =		= − 1 + 2 i
	2

	3i − 1 + ( 1 − i )
z4 =		= i
	2

z₁ = z₄ z₂ = z₃

mark07: Aaa, faktycznie, mój błąd w obliczeniach.. Dzięki jeszcze raz wszystkim. Jeszcze pytanie, bo policzyłem w tym czasie następny punkt. d) z⁴ + 2z³ − 8iz − 16i = 0; Sprowadziłem do postaci iloczynowej metodą grupowania i wyszło mi z² − 8i = 0 lub z + 2 = 0 z = √8i = 2√2i lub z = −2 Sprawdzi ktoś czy dobrze?

Mila: z⁴+2z³−8i(z+2)=0 z³(z+2)−8i*(z+2)=0 (z+2)*(z³−8i)=0 z+2=0 lub z³−8i=0⇔z³+8i³=0⇔(z+2i)*(z²−2iz−4)=0 dokończ

mark07: Znowu sie machłem z potęgą Tak więc będzie z = −2 lub z = −2i lub z²−2iz−4=0 Δ = √20 = 2√5 z₁ = i − √5 z₂ = i + √5 Czyli 4 rozwiązania. W następnym z kolei mam e) z⁶ = (1 − i)⁶ Zakładam, że nie mogę spierwiastkować obustronnie, bo było by za łatwo. Uprościłem to do z⁶ = ((1 − i)²)³ z⁶ = 8i => z = ⁶√8i Jeżeli mam rozwiązać to równanie to można podać ogólnieszy wzór każdego pierwiastka, czy musze liczyć każdy z osobna ? Np.

	π		π
w0 = 6√8 (cos		+ i sin		) itd
	12		12

Mila: Poprawiam wpis z 21:14 1) z=−2 lub (z+2i)*(z²−2iz−4)=0 z=−2 lub (z+2i)=0 lub (z²−2iz−4)=0⇔Δ=(−2i)²−4*(−4)=4i²+16⇔Δ=12, √12=2√3 z=−2 lub z=−2i lub z=−√3+i lub z=√3+i 2) Trzeba podac wzór ogólny i liczyć wszystkie pierwiastki. Możesz skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

mark07: Ok, dzięki. Mogła byś jeszcze rozwinąć to jak skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia w tym przypadku, albo podać jakiś link gdzie o tym pisze.

Mila: a³−b³=(a−b)*(a²+ab+b²) a³+b³=(a+b)*(a²−ab+b²) a²−b²=(a−b)*(a+b) z⁶−8i=z⁶+8i³ i³=i²*i=−i z⁶+8i³ =0⇔ (z²)³+(2i)³=0⇔(z²+2i)*(z⁴−2iz²−4)=0 z²+2i=0 lub (z⁴−2iz²−4)=0 z=√−2i=1−i lub z=−√−2i=−1+i i drugie równanie (z²−1i)²−i²−4=0⇔(z²−i)²−3=0⇔ (z²−i−√3)*((z²−i+√3)=0 dokończysz? Korzystając ze wzorów Moivre'a : ⁶√8=√2

	π   +2kπ 2		π   +2kπ 2
zk=√2}*(cos		+isin		) ,k∊{0,2,3,4,5}
	6		6

	π		π
z0=√2*(cos		+i sin		)= odczytaj w tablicach wartości dla 150 albo zostawiasz
	12		12

	π   +2π 2		π   +2π 2		5π		5π
z1=√2*(cos		+isin		)=√2*(cos		+i sin		)=...
	6		6		12		12

Krzysiek: z⁶=(1−i)⁶ z=⁶√(1−i)⁶

	2kπ		2kπ
zk=(1−i)(cos		+isin		) , k∊{0,...5}
	6		6

mark07: Równanie (z⁴−2iz²−4) = 0 potrafię dokończyć, ale metodą podstawienia t = z², bo nie rozumiem jak przekształciłaś to na (z²−1i)²−i²−4=0 No może nie całkiem umiem dokończyć, bo jak dochodzę do: z₁ = √i − √3 z₂ = √i + √3 to nie wiem jak obliczyć te pierwiastki nie przechodząc na postać trygonometryczną. Tak samo jak obliczyłaś z = √−2i = 1−i ? Ze wzorów de Moivre'a już wiem jak liczyć.

mark07: Up, jeżeli by tylko ktoś wytłumaczył jak obliczać pierwiastki nie przekształcając na postać trygonometryczną. Byłbym bardzo wdzięczny

Mila: 1) z₁=√i−√3=(x+iy) i x,y∊R⇔ (x+iy)²=−√3+i x²−y²+2xyi=−√3+i x²−y²=−√3 2xy=1 rozwiązyjesz ten układ (nieciekawy) 2) (z⁴−2iz²−4) = 0 z²=t (t²−2it−4)=(t−i)²−i²−4=(t−i)²−3 to jest postac kanoniczna , uzupełniam do kwadratu wyrażenia (t−i) (t²−2it+i²)−i²= zielona część była dodałam i odjęłam i² 3) √−2i=(x+iy)⇔ (x+iy)²=−2i dokończę w następnym wpisie.

Mila: 3) √−2i=(x+iy)⇔ (x+iy)²=−2i⇔ (x²−y²)+2xyi=0+(−2i) porównuję części rzeczywiste i urojone x²−y²=0 i 2xy=−2 y=x lub y=−x xy=−1 lub −x²=−1 x²=1 brak rzeczywistych rozw. lub x=1 lub x=−1 stąd mamy: z₀=1−i z₁=−1+i