Równanie kwadratowe z liczbami zespolonymi Laik: z²+3z+3+i=0 Czy mógłby ktoś pokazać jak się rozwiązuje takie równanie krok po kroku?

Krzysiek: tak jak zwykłe równanie z liczbami rzeczywistymi. zacznij od policzenia Δ

Laik: No tak ale potem mi powstaje wielomian czwartego stopnia, dalej idąc są podstawienia i kolejne pary wyników. Trochę się w tym gubię wiec dlatego poprosiłem o jasny schemat działania.

Dominik: Schemat jasny już masz, a teraz pokaż jak liczysz

Janek191: z² + 3 z + 3 + i = 0 Δ = 3² − 4*1*( 3 + i) = 9 − 12 − 4i = − 3 − 4i = ( − 1 + 2i)² więc √Δ = − 1 + 2i

	− 3 − ( − 1 + 2i)
z1 =		= − 1 − i
	2

	− 3 + ( − 1 + 2i)
z2 =		= − 2 + i
	2

Laik: Janek191 nie wpadłem na to żeby −3−4i zapisać w postaci (−1+2i)². Mimo wszystko chciałbym wiedzieć jakby wyglądała droga do rozwiązania gdybyś też na to nie wpadł.

Krzysiek: √−3−4i=a+bi podnosisz stronami do kwadratu i rozwiązujesz układ równań

Laik: Tak też robiłem,ale dochodzi do równania czwartego stopnia, po podstawieniu dla t są dwa wyniki potem wracając do b są kolejne dwa wyniki dla każdego b, czyli łącznie 8 wyników.

Laik: Z 8 wynikami przesadziłem. Ale i tak jest ich za dużo.

Krzysiek: jakie równanie 4 stopnia...?

Laik: p(−3−4}i=a+bi) z tego powstaje układ równań −3 = a²+b² −4 = 2ab Jak wyznacze a = −2/b i podstawie do górnego to otrzymam b⁴+3b²+4=0

Krzysiek: −3=a²−b² a,b∊R więc jeżeli by było b⁴+3b²+4=0 to nie ma żadnego rozwiązania.

Janek191: √ − 3 − 4i = a + bi − 3 − 4i = a² + 2a*b i − b² wiec a² − b² = − 3

	−2
2a*b = − 4 ⇒ a*b = − 2 ⇒ b =
	a

czyli

	−2
a2 − (		)2 = − 3
	a

	4
a2 −		= − 3 / * a2
	a2

a⁴ + 3 a² − 4 = 0 Δ = 9 − 4*1*(−4) = 9 + 16 = 25 √Δ = 5

	− 3 − 5
a2 =		= − 4 − sprzeczność
	2

	− 3 + 5
a2 =		= 1
	2

a = − 1 lub a = 1 więc

	−2		− 2
b =		= 2 lub b =		= − 2
	−1		1

czyli √− 3 − 4 i = a + bi = −1 + 2i lub √− 3 − 4 i = 1 − 2i

	− 3 − ( 1 − 2i)
z3 =		= − 2 + i
	2

	− 3 + ( 1 − 2i)
z4 =		= − 1 − i
	2

Janek191: √ − 3 − 4i = a + bi − 3 − 4i = a² + 2a*b i − b² wiec a² − b² = − 3

	−2
2a*b = − 4 ⇒ a*b = − 2 ⇒ b =
	a

czyli

	−2
a2 − (		)2 = − 3
	a

	4
a2 −		= − 3 / * a2
	a2

a⁴ + 3 a² − 4 = 0 Δ = 9 − 4*1*(−4) = 9 + 16 = 25 √Δ = 5

	− 3 − 5
a2 =		= − 4 − sprzeczność
	2

	− 3 + 5
a2 =		= 1
	2

a = − 1 lub a = 1 więc

	−2		− 2
b =		= 2 lub b =		= − 2
	−1		1

czyli √− 3 − 4 i = a + bi = −1 + 2i lub √− 3 − 4 i = 1 − 2i

	− 3 − ( 1 − 2i)
z3 =		= − 2 + i
	2

	− 3 + ( 1 − 2i)
z4 =		= − 1 − i
	2

Laik: Dzięki Janek, właśnie o to mi chodziło.