s Mat: Proszę o sprawdzenie Proszę o sprawdzenie czy w ogóle można takie coś zrobić z tym A_t = {(x,y):x<ty} U A_t =R²\{(x,0)eR²:x≥0} , teR chcę udowodnić że R²\{...} ⊂ U A_t oznaczę {(x,0)eR²:x≥0} jako B , wtedy : dowód nie wprost R²\B ⊄ U A_t ⇒ U R²\B ⊄ U A_t ⇔∀xeR²\B : x∉ U A_t ⇔∀xeR²\B ∃teR : x∉ A_t sprzeczność

Mat: up

PW: Co to znaczy, że (x,y) należy do sumy A_t? − Że należy do co najmniej jednego z tych zbiorów, czyli istnieje t∊R, taka że (1) x < ty. Nierówność ta nie ma rozwiązania, gdy x≥0 i y=0 (lewa strona niedodatnia, prawa równa 0). Dla par (x,y) w których x<0 i y=0 nierówność (1) jest spełniona w sposób oczywisty dla wszystkich t. Dla par (x,y), w których y≠0 nierówność (1) jest równoważna nierówności

	x
		< t,
	y

	x
która jest spełniona dla wszystkich t ≥		.
	y

Podsumowanie: do sumy A_t nie należą pary (x,0), w których x≥0; pozostałe pary (x,y)∊R² należą do rozpatrywanej sumy. To wystarczy jak dla mnie. Formalizmy zabijają sens i powodują takie właśnie dziwne poczynania, jak dowodzenie, że R²\{...} ⊂ U A_t, podczas gdy wiemy, że te zbiory są tożsame.

Mat: Dziękuję Ci bardzo. Czy można bardziej formalnie zapisać ten cały wniosek czy to powinno wystarczyć ?

Mat: I jeszcze pytanie. A jeżeli A_t jest określony podobnie tylko zamiast x<ty mamy x²≤t²y² to jak tu będzie z dowodem ?

PW: Dla par (x,0), w których x>0 nierówność (1) x² ≤ t²y² nie ma rozwiązania (lewa strona dodatnia, prawa 0). Dla par (x,y), w których y≠0 nierówność (1) jest równoważna nierówności

	x
(		)2 ≤ t2,
	y

	|x|
która ma rozwiązania, na przykład t ≥		.
	|y|

Pokazaliśmy, że suma A_t jest zbiorem R²\{(x,y): x>0∧y=0}. Myślę, że to powinno wystarczyć, ale to zależy od wymagań prowadzącego zajęcia − zrozumieć sens sum przeliczalnej liczby zbiorów, czy opanować formalne zapisy.

Mat: Dzięki raz jeszcze A jak narysować w układzie współrzędnych zbiór takich x²≤t²y² ? Czyli oba przykłady mają te same sumy ?

Mat: hm?

Mat: up

Mat: up