granica ciągów ola: oblicz granice ciągów: 1) a_n=ⁿ√eⁿ+πⁿ+5⁻ⁿ 2) a_n=√n+8−√n 3) a_n=√4n²+n+1−2n 4) a_n=√2+4+6+...+2n−n 5) a_n=(ⁿ⁻¹_n+1)ⁿ⁺² 6) a_n=(ⁿ⁺³_n+6)ⁿ⁺² 7) a_n=(²ⁿ⁺⁷_2n+1)²ⁿ⁺¹ 8) a_n=(⁵ⁿ⁻⁶_5n+1)³ⁿ 9) a_n=²ⁿ⁺³ⁿ_3ⁿ+4ⁿ 10) a_n=^10n+1+4*7n_2ⁿ⁺¹+3*8ⁿ

Krzysiek: tylko tyle? daj jeszcze z 10

ola: przynajmniej kilka z tych pomóżcie zrobić

Krzysiek: wystarczy troszeczkę poszukać na forum to by się znalazło prawie identyczne przykłady.. 1)tw. o trzech ciągach 2,3,4) korzystasz ze wzoru:

	a2−b2
a−b=
	a+b

4) dodatkowo korzystasz ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego 5,6,7,8)korzystasz z liczby 'e' 9,10)nie wiem co tam jest napisane.

ola: dzięki może dam rade zrobić

ola: ..ale jakby ktoś chciał i potrafił rozwiązać któryś z przykładów to byłabym bardzo wdzięczna

Janek191: 1) a_n = ⁿ√eⁿ + πⁿ + 5ⁿ Niech b_n = ⁿ√5ⁿ = 5 oraz c_n = ⁿ√ 3*5ⁿ = 5*ⁿ√3 Mamy b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 5 i lim c_n = 5*1 = 5 n → ∞ n → ∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim a_n = 5 n → ∞ ============

Janek191: 1) a_n = ⁿ√eⁿ + πⁿ + 5ⁿ Niech b_n = ⁿ√5ⁿ = 5 oraz c_n = ⁿ√ 3*5ⁿ = 5*ⁿ√3 Mamy b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 5 i lim c_n = 5*1 = 5 n → ∞ n → ∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim a_n = 5 n → ∞ ============

Janek191: 1) a_n = ⁿ√eⁿ + πⁿ + 5ⁿ Niech b_n = ⁿ√5ⁿ = 5 oraz c_n = ⁿ√ 3*5ⁿ = 5*ⁿ√3 Mamy b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 5 i lim c_n = 5*1 = 5 n → ∞ n → ∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim a_n = 5 n → ∞ ============

Janek191: 2 i 3 podobnie

	4 n2 + n + 1 − 4 n2
an = √ 4 n2 + n + 1 − 2n =		=
	√ 4 n2 + n + 1 + 2n

	n + 1
=		; po podzieleniu licznika i mianownika przez n
	√4 n2 + n + 1 + 2n

	1 + 1n
=
	√ 4 + 1n + 1n2 + 2

więc

	1 + 0		1		1
lim an =		=		=
	√4 + 0 + 0 + 2		2 + 2		4

n → ∞

Janek191: 2 i 3 podobnie

	4 n2 + n + 1 − 4 n2
an = √ 4 n2 + n + 1 − 2n =		=
	√ 4 n2 + n + 1 + 2n

	n + 1
=		; po podzieleniu licznika i mianownika przez n
	√4 n2 + n + 1 + 2n

	1 + 1n
=
	√ 4 + 1n + 1n2 + 2

więc

	1 + 0		1		1
lim an =		=		=
	√4 + 0 + 0 + 2		2 + 2		4

n → ∞

Janek191: 2 i 3 podobnie

	4 n2 + n + 1 − 4 n2
an = √ 4 n2 + n + 1 − 2n =		=
	√ 4 n2 + n + 1 + 2n

	n + 1
=		; po podzieleniu licznika i mianownika przez n
	√4 n2 + n + 1 + 2n

	1 + 1n
=
	√ 4 + 1n + 1n2 + 2

więc

	1 + 0		1		1
lim an =		=		=
	√4 + 0 + 0 + 2		2 + 2		4

n → ∞

Janek191: 4) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 0,5*( 2 + 2n)*n = (1 + n)*n = n + n² bo jest to suma n wyrazów ciągu arytmetycznego a₁ = 2 a_n = 2n zatem

	n2 + n − n2		n
an = √ n2 + n − n =		=		=
	√n2 + n + n		√n2 + n + n

	1
=
	√1 +1n + 1

więc

	1		1		1
lim an =		=		=
	√ 1 + 0 + 1		1 + 1		2

n → ∞

Janek191: 5)

	n −1		n−1		n −1
an = (		) n +2 = (		)2*(		)n =
	n + 1		n+1		n +1

	1 − 1n		( 1 −1n)n
= (		)2 *
	1 + 1n		( 1 + 1n)n

więc

	1 −0		e−1
lim an = (		)2 *		= 1*e−1−1 = e−2
	1 + 0		e1

n → ∞

Janek191: 9)

	2n + 3n
an =
	4n

Niech

	3n		3		2* 3n		3
bn =		= (		)n oraz cn =		= 2*(		)n
	4n		4		4n		4

Mamy b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 0 i lim c_n = 2*0 = 0 n → ∞ n → ∞ więc na podstawie tw. o trzech ciągach lim a_n = 0 n → ∞ =============

Janek191: 9)

	2n + 3n
an =
	4n

Niech

	3n		3		2* 3n		3
bn =		= (		)n oraz cn =		= 2*(		)n
	4n		4		4n		4

Mamy b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 0 i lim c_n = 2*0 = 0 n → ∞ n → ∞ więc na podstawie tw. o trzech ciągach lim a_n = 0 n → ∞ =============

asia: dziękuję

ola: dziękuję