:) PuRXUTM: Udowodnić poniższe równości (najlepiej nie przez indukcję, mile widziane dowody kombinatoryczne):

	n i
∑i=0 n		=2n jak to ruszyć

n 0		n 1		n 2		n 3		n n
	+		+		+		+...+		=2n

wiem że tak jest bo zbiór podzbiorów to 2ⁿ ale jak to udowodnić

Maslanek: Zauważ, że to to samo, co (1+1)ⁿ Lewa część to właśnie dwumian Newtona

PuRXUTM: dzięki wielkie

	n i
∑i=0 n (−1)n		=0

właśnie tu mi jedna rzecz nie pasuje... czy nie powinno być (−1)ⁱ no i co dalej jak to będzie i

n o

n 1

n 2

n 3

n n

n n

n n

−

+

−

...−

nie wiem czy ma być na końcu −

czy +

mam rozpatrzyć 2 przypadki (n−parzyste, n−nieparzyste)

	n n−k		n k
wiem że pewnie trzeba będzie zastosować wzór		=		tak ?

Maslanek: Tak chyba byłoby najwygodniej

Maslanek: Albo jeszcze inaczej Podzelić to na sumę wyrazów parzystych i nieparzystych . I zastosować to samo rozumowanie

Maslanek: Tak mi teraz przyszło do głowy

PuRXUTM: dzięki

PuRXUTM:

	n n
dla n− parzystego wszystko się ładnie upraszcza, ale dla n−nieparzystego zostaje mi

Co z tym zrobić ?

Godzio: n − nieparzyste oznacza, że będzie na końcu minus.

n 0		n 1		n 2		n n
	−		+		− ... −		=

	n k		n − 1 k − 1		n − 1 k
[rozbijamy ze wzorku		=		+		]

	n−1 0		n−1 0		n−1 1		n−1 1		n−1 2
=		− (		+		) + (		+		) −

n−1 2

n−1 3

n−1 3

n−1 4

n−1 n−2

n−1 n−1

− (

+

) + (

+

) − ... + (

+

) −

	n − 1 n − 1
−

I widać, że się wszystko uprości

PuRXUTM: jak minus przy 0 jest plus, przy 2 plus przy 100 plus przy n plus

PuRXUTM: sory źle popatrzyłem, jest dla nie parzystego...

PuRXUTM: to w takim razie źle myślałem... uprości się dla n − nieparzystego

n 0

n 1

n 2

n 3

n n−1

n n

n 0

n n

−

+

−

+...+

−

=(

−

)+(−N{

	n n−1
n}{1}+		)+...+=0 ale też mi to ciężko zrozumieć... ale zauważyłem że jak n jest

nieparzyste to tych wyrazów jest parzysta ilość Ale dla n parzystego nie wiem jak zrobić... bo np. dla n=4

4 0		4 1		4 2		4 3		4 4		4 2
	+		+		+		+		=

PuRXUTM: źle...

4 0		4 1		4 2		4 3		4 4		4 0		4 1		4 2
	−		+		−		+		=2*		−2*		+

Godzio:

4 0		4 1		4 2		4 3		4 3
	−		+		−		+		=

3 0		3 0		3 1		3 1		3 2		3 2		3 3		3 3
	− (		+		) + (		+		) − (		+		) +		= 0

Nie przeanalizowałeś mojego rozwiązania

PuRXUTM:

	4 0		3 −1		3 0		3 −1
czyli jak mam		=		+		to		nie piszę ? dlaczego wiem że nie może być

−1 ale dla czego tak to stosujesz

Godzio:

	n 0		n n
Bo		= 1 niezależnie od n (tak samo ostatni		= 1 )

PuRXUTM:

	3 0		4 0		3 3		4 4
czyli zamiast		mogę napisać		a na końcu zamiast				? Bo chce mieć

jasne zapisy

Godzio: Tak

5 5		10 10		100 100		5 0		10 0		100 0
	=		=		=		=		=

PuRXUTM: ok. dzięki wielkie