Granica ciągu. Jarek: Określ wartość wyrażenia:

	1		2		n − 1
a) lim (		+		+ . . . +		)
	n2		n2		n2

n→∞ b) lim ( √2 ⁴√2 ⁸√2 . . .²ⁿ√2 ) n→∞

Krzysiek: a) w liczniku masz sumę ciągu arytmetycznego b)√2=2^{1/2 4}√2=2^1/4 korzystasz z tego,że: a^b*a^c=a^b+c i w potędze masz sumę ciągu geometrycznego

Janek191: a)

	1		2		n − 1		1 + 2 + ... + ( n −1)
an =		+		+ ... +		=		=
	n2		n2		n2		n2

	0,5 *( n −1)*n		0,5 n2 − 0,5 n		0,5 − 0,5n
=		=		=
	n2		n2		1

więc lim a_n = 0,5 − 0 = 0,5 n → ∞ ====================

Janek191: a)

	1		2		n − 1		1 + 2 + ... + ( n −1)
an =		+		+ ... +		=		=
	n2		n2		n2		n2

	0,5 *( n −1)*n		0,5 n2 − 0,5 n		0,5 − 0,5n
=		=		=
	n2		n2		1

więc lim a_n = 0,5 − 0 = 0,5 n → ∞ ==================== b) a_n = 2^1₂ * 2^1₄*2^1₈ * ... *2^1_2n = = 2^{1₂+ 1₄ + ... + 1_2n}= 2 ^{1 − (1₂)n} bo

1		1		1		1		1 −( 12)n
	+		+ ... +		=		*		=
2		4		2n		2		1 − 12

	1
= 1 − (		)n
	2

więc lim a_n = 2 ^{1 − 0} = 2¹ = 2 n → ∞ ==========================

Janek191: a)

	1		2		n − 1		1 + 2 + ... + ( n −1)
an =		+		+ ... +		=		=
	n2		n2		n2		n2

	0,5 *( n −1)*n		0,5 n2 − 0,5 n		0,5 − 0,5n
=		=		=
	n2		n2		1

więc lim a_n = 0,5 − 0 = 0,5 n → ∞ ==================== b) a_n = 2^1₂ * 2^1₄*2^1₈ * ... *2^1_2n = = 2^{1₂+ 1₄ + ... + 1_2n}= 2 ^{1 − (1₂)n} bo

1		1		1		1		1 −( 12)n
	+		+ ... +		=		*		=
2		4		2n		2		1 − 12

	1
= 1 − (		)n
	2

więc lim a_n = 2 ^{1 − 0} = 2¹ = 2 n → ∞ ==========================

Jarek: Dzięki! A jeszcze coś takiego:

	1		2		3		(−1)n−1 n
lim |		−		+		− ... +		|
	n		n		n		n

n→∞

asdf: suma parzystych − suma nieparzystych = ?

asdf: sorry, tak o: suma nieparzystych − suma parzystych = ?

Jarek: Właśnie nie wiem.

asdf: http://www.youtube.com/watch?v=2JjDF_bRbD0