przestrzeń liniowa Bartek: Wiem czym jest niezależność liniowa wektorów i wiem jak to wygląda na układzie współrzędnych, ale z diabła nie rozumiem tego: Wektory są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 = ...=an = 0. Jak to możliwe?

Bartek: No to odświeżam. Po prostu nie rozumiem czym są a1, a2 względem wektorów. Tzn. rozumiem, że to są fachowo mówiąc skalary, ale nie rozumiem jak mam je sobie wyobrazić? Tzn. jako co?

Bartek: Błagam, podpowiedzcie coś.

PW: Oderwij się od myślenia w kategoriach układu współrzędnych. "Wektory" to elementy przestrzeni liniowej, mogą to być zupełnie dowolne twory, na których określone jest działanie dodawania spełniające warunki definicji oraz mnożenia przez elementy pewnego ciała (to co nazywasz skalarami). Nie zacytowałeś poprawnie definicji. Sprawdź.

Krzysiek: ale co tu pisać taka jest definicja niezależności liniowej wektorów. a₁,a₂,..a_n to z reguły liczby rzeczywiste. http://pl.wikipedia.org/wiki/Wektor#Mno.C5.BCenie_przez_skalar

pigor: skalary to po prostu wielkości liczbowe − tu po prostu liczby ∊R ; np skalar a₁= −2 i u^→= [−3,4,0], to np. a₁a^→= −2a^→= −2[−3,4,0]= [−2*(−3), −2*4, −2*0]= [6.−8,0] itp, itd.

Nienor: Najpierw może napiszę definicję.To pomaga: Kombinacją liniową wektorów u₁, ..., u_k ∊ℛⁿ o współczynnikach α₁,..,α_k∊ℛ nazywamy każdy wektor ℛⁿ∍u=α₁u₁+α₂u₂+...+α_ku_k np. wektor u=[1,4,8] jest kombinacją liniową:

	4
1*[1,0,0]+4*[0,1,0]+*8[0,0,1],ale też: 2*[2,2,1]+(−1)*[1,0,0]+3*[1,2,4]+(−3)[1,2,		]
	3

Z powyższego masz wniosek, że: Mówimy, że wektory u₁, ..., u_k ∊ℛⁿ są liniowo niezależne jeżeli: ∀ α₁,..,α_k∊ℛ: α₁u₁+α₂u₂+...+α_ku_k=[0] ⇒ α₁=α₂=...=α_k=0 np. [1,0], [0,1] − są liniowo niezależne, bo: α₁[1,0]+α₂[0,1]=[0,0] [α₁,0]+[0,α₂]=[0,0] [α₁,α₂]=[0,0] ⇒ α₁=α₂=0 np 2: [0,1,1], [1,0,0], [−1,0,2] − czy są liniowo niezależne: α₁[0,1,1]+α₂[1,0,0]+α₃[−1,0,2]=[0,0,0] [0,α₁,α₁]+[α₂,0,0]+[−α₃,0,2α₃]=[0,0,0] [α₂−α₃,α₁,α₁+2α₃]=[0,0,0] α₂−α₃=0 α₁=0 α₁+2α₃=0 Z rozwiązania powyżeszego układu: α₁=α₂=α₃=0 czyli są liniowo niezależne np 3: [0,1,1], [1,1,0], [2,−1,−3] − czy są liniowo niezależne α₁[0,1,1]+α₂[1,1,0]+α₃[2,−1,−3]=[0,0,0] [0,α₁,α₁]+[α₂,α₂,0]+[2α₃,−α₃,−3α₃]=[0,0,0] [α₂+2α₃,α₁−α₃+α₂, α₁−3α₃]=[0,0,0] α₂+2α₃=0 α₁−α₃+α₂=0 α₁−3α₃=0 I zmienne są uzależnione taką zależnością: α₁=3α₃ i α₂=2α₃ Nie są liniowo niezależne.

Bartek: Chyba zrozumiałem. Swoją drogą zabawne, że wcześniej hobbystycznie tzn. przed studiami uczyłem się o liczbach zespolonych i teraz dzięki temu na studiach mam z nimi dużo mniej problemów. A z tym tutaj czortem mam do czynienia pierwszy raz i dlatego się tak męczę.

Nienor: Ok, chcesz sam się tym pobawić? Sprawdź, czy wektory (2,3,4), (1,2,4), (−2,2,3) są nie zależne liniowo. Jest parę twierdzeń o kombinacji liniowej, których udowodnienie jest dobrym ćwiczeniem.

Bartek: Dzięki za przykład. Policzyłem to metodą redukcji macierzy do postaci schodkowej. Jeśli wektory mają być liniowo nie zależne, to żaden z trzech wierszy macierzy nie ma prawa się wyzerować. Po przekształceniach doszedłem do takiej postaci: 1 1 0 0 1 4 0 0 1 Wiersze się nie wyzerowały, więc te trzy wektory są liniowo nie zależne. Zastanawiam się jednak, jaką powinienem podać odpowiedź, gdyby np. wyzerował się np ostatni wiersz? Przecież może się zdarzyć, że w macieży 4 wierszowej jeden wiersz się wyzeruje. Więc jak to wtedy rozumieć?

lola: Może pomoże Ci w tym rozwiązanie przykładu : w₁=(1,1,1,0), w₂=(2,0,2,0),w₃=(0,7,0,0) sprawdź czy są liniowo niezależne. * Znajdź układ równań którego zbiorem rozwiązań będzie lin({w1,w2,w3})

Nienor: i tu się kłania twierdzenie: Wektory u₁,...,u_k ∊ ℛⁿ są liniowo zależne wtedy i tylko tedy gdy chociaż jeden z nich da się wyrazić przez kombinację liniową pozostałych.

Bartek: No to jeszcze jedno. Jeżeli mam R³ i np. z trzech wektorów w macierzy jeden mi się wyzeruje, to czy te dwa pozostałe są bazą R³ ? chyba nie?

Bartek: Kurcze, mam wrażenie, że nadal tego nie rozumiem. Tzn. część rozumiem, a części nie rozumiem.