jak wyliczyć najmniejsze długości prostokąta Daniel: Na bokach prostokąta ABCD o obwodzie 100cm dorysowano trójkąty równoboczne. Jakie powinny być długości boków prostokąta, aby pole figury będącej sumą pola prostokąta i pól dorysowanych trójkątów było najmniejsze?

Rafał28: a, b − boki prostokąta Wówczas 2a + 2b = 100 a + b = 50 b = 50 − a Pole prostokąta + suma czterech pól trójkątów równobocznych to :

	a2√3		b2√3
a*b + 2 *		+ 2 *		=
	4		4

	a2√3		(50−a)2√3
a(50 − a) + 2 *		+ 2 *		=
	4		4

(√3 − 1)a² + 50(1−√3)a + 1250√3 Suma tych pól jest wyrażona jako parabola skierowana ramionami do góry. W związku z tym najmniejsze pole będzie wtedy, gdy wartość paraboli będzie najmniejsza. Najmniejsza wartość tej paraboli to wierzchołek, czyli, gdy

	b		50(1−√3)
xw = −		= −		= 25
	2a		2(√3 − 1)

Suma tych pól będzie najmniejsza, gdy a=25, ale wtedy b=25. Czyli prostokąt to kwadrat o boku 25.