Rozwiąż nierówność Mia:

	2		x		1
Wiedząc, że f(x) =		−		, rozwiązać nierówność f(		)>= x−2
	1+x		1+x		x

Janek191:

	2		x
f(x) =		−
	1 + x		1 + x

więc

	1		2		1x		2 − 1x
f(		) =		−		=		=
	x		1 + 1x		1 + 1x		1 + 1x

	2x − 1x		2x − 1		x		2x − 1
=		=		*		=
	x + 1x		x		x + 1		x + 1

Mamy więc nierówność :

2x − 1
	≥ x − 2 ; x ≠ − 1
x + 1

2x − 1		(x −2)*( x + 1)
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 + x −2x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 − x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1 − x2 + x + 2
	≥ 0
x + 1

− x2 + 3x + 1
	≥ 0
x + 1

( − x² + 3x + 1)*( x + 1) ≥ 0 Δ = 9 − 4*(−1)*1 = 13

	− 3 − √13		3 + √13
x1 =		=		≈ 3,3
	−2		2

	− 3 + √13		3 − √13
x2 =		=		≈ − 0,3
	−2		2

x₃ = − 1 ∉ D

	3 − √13		3 + √13
Odp. x ∊ ( − ∞; −1) ∪ <		;		>
	2		2

========================================

Janek191:

	2		x
f(x) =		−
	1 + x		1 + x

więc

	1		2		1x		2 − 1x
f(		) =		−		=		=
	x		1 + 1x		1 + 1x		1 + 1x

	2x − 1x		2x − 1		x		2x − 1
=		=		*		=
	x + 1x		x		x + 1		x + 1

Mamy więc nierówność :

2x − 1
	≥ x − 2 ; x ≠ − 1
x + 1

2x − 1		(x −2)*( x + 1)
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 + x −2x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 − x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1 − x2 + x + 2
	≥ 0
x + 1

− x2 + 3x + 1
	≥ 0
x + 1

( − x² + 3x + 1)*( x + 1) ≥ 0 Δ = 9 − 4*(−1)*1 = 13

	− 3 − √13		3 + √13
x1 =		=		≈ 3,3
	−2		2

	− 3 + √13		3 − √13
x2 =		=		≈ − 0,3
	−2		2

x₃ = − 1 ∉ D

	3 − √13		3 + √13
Odp. x ∊ ( − ∞; −1) ∪ <		;		>
	2		2

========================================

irena_1:

	2−x
f(x)=
	1+x

D_f=R\{−1}

	1
f(		)≥x−2
	x

x≠0

2−1x
	≥x−2
1+1x

2−xx
	≥x−2
x+1x

2−x
	≥x−2
1+x

2−x
	−x+2≥0
1+x

2−x−x2−x+2x+2
	≥0
x+1

4−x2
	≥0
x+1

(x²−4)(x+1)≤0 (x−2)(x+2)(x+1)≤0 x≠−1 i x≠0 x∊(−∞; −2> ∪ (−1; 2> \ {0}

irena_1: Nie widziałam rozwiązania wcześniejszego, a u siebie znalazłam błąd.

Janek191:

	2		x
f(x) =		−
	1 + x		1 + x

więc

	1		2		1x		2 − 1x
f(		) =		−		=		=
	x		1 + 1x		1 + 1x		1 + 1x

	2x − 1x		2x − 1		x		2x − 1
=		=		*		=
	x + 1x		x		x + 1		x + 1

Mamy więc nierówność :

2x − 1
	≥ x − 2 ; x ≠ − 1 i x ≠ 0
x + 1

2x − 1		(x −2)*( x + 1)
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 + x −2x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1		x2 − x − 2
	−		≥ 0
x + 1		x + 1

2x − 1 − x2 + x + 2
	≥ 0
x + 1

− x2 + 3x + 1
	≥ 0
x + 1

( − x² + 3x + 1)*( x + 1) ≥ 0 Δ = 9 − 4*(−1)*1 = 13

	− 3 − √13		3 + √13
x1 =		=		≈ 3,3
	−2		2

	− 3 + √13		3 − √13
x2 =		=		≈ − 0,3
	−2		2

x₃ = − 1 ∉ D

	3 − √13		3 + √13
Odp. x ∊ ( − ∞; −1) ∪ <		;		> \ { 0 }
	2		2

========================================