ciała-algebra PuRXUTM: Zbiór liczb niewymiernych z dodawaniem i mnożeniem nie jest ciałem bo nie ma elementu neutralnego dla dodawania Coś jeszcze nie pasuje ?

PuRXUTM: jak mamy mnożenie np. √2*√2=2 to wynik chyba też się ma zawierać w niewymiernych, a się nie zawiera więc to chyba też szwankuje

PuRXUTM: up

PuRXUTM: up

PW: Tak. Nie ma też w zbiorze liczb niewymiernych elementu neutralnego mnożenia (jedynki). Wystarczy pokazanie, że wynik jednego z działań wykonanego na dwóch wybranych elementach nie należy do zbioru, tak jak zrobiłeś dla mnożenia (oba działania mają być działaniami wewnętrznymi, a więc wystarczy pokazanie tego).

PuRXUTM: dzięki PW pomógł byś jeszcze przy przykładzie 1,7 bo nie wiem o co w tym chodzi http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometri%C4%85_analityczn%C4%85/Wyk%C5%82ad_2:_Przestrzenie_wektorowe

PW: Nie ma tam nic trudnego poza oznaczeniami. Tworzy się nową przestrzeń wektorową, której elementami są funkcje. Chyba najbardziej przyjazny jest ostatni przykład ze zbiorem funkcji określonych na pewnym przedziale − zbiór takich funkcji ze "zwykłym" dodawaniem i mnożeniem funkcji jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.

PuRXUTM: nic nie ogarniam niestety z tego... Jak elementami są funkcję? przestrzeń wektorowa składa się z wektorów i skalarów... wytłumacz mi jak możesz to na chłopski rozum bo dla mnie to kosmos...

PW: A gdybyś spojrzał na wektory jak na funkcje? Przecież wektor [5,7] to nic innego jak funkcja f:{1.2}→R. Dla x=1 przyjmuje wartość 5, a dla x=2 przyjmuje wartość 7. Ważne jest, że na tych funkcjach (wektorach) można wykonywać działanie dodawania (spełniające warunki podane w definicji), i że można je mnożyć przez elementy pewnego ciała K (w tym wypadku ciała liczb rzeczywistych) przy zachowaniu pewnych reguł. Wszystko to samo można powiedzieć o funkcjach określonych np. na przedziale [1,2] i przyjmujacych wartości rzeczywiste. Z punktu widzenia algebry funkcje f: {1,2}→R i funkcje f: [1,2]→R z działaniem dodawania oraz działaniem mnożenia przez elementy ciała R tworzą taką samą strukturę.

MQ: Po prostu przestrzeń wektorowa, to nie musi być zbiór liczb, par liczb, trójek liczb itd. To może być zbiór dowolnych obiektów, byle tylko miał własności opisane w definicji 1.1. Tak więc zbiór funkcji określonych na jakiejś dziedzinie z określonymi działaniami dodawania i mnożenia tych obiektów (tutaj funkcji) może być też przestrzenią wektorową, jaśli tylko te działania spełniają warunki określone w def 1.1.

PuRXUTM: dzięki na pewno do tego jutro wrócę teraz już muszę iść spać bo jutro pierwszy kolos...z analizy...