Liczby zespolone aliska: UDOWODNIj : z+z⁻¹=2cos(t) −−> z^m + z^−m = 2 cos (mt) dla każdego m ∊ N

Godzio: z² − 2cos(t) * z + 1 = 0 Δ = 4cos²(t) − 4 = − 4sin²(t) = (2sin(t) * i)²

	2cos(t) − 2sin(t) * i
z1 =		= cos(t) − sin(t) * i = cos(−t) + sin(−t) * i
	2

z₂ = cos(t) + sin(t) * i Dla z₁: z₁^m + z^−m = cos(−mt) + sin(−mt) * i + cos(mt) + sin(mt) * i = 2cos(mt) Dla z₂: z^m + z^−m = cos(mt) + sin(mt) * i + cos(−mt) + sin(−mt) * i = 2cos(mt) Teraz sprawdzimy czy rzeczywiście (cos(t) + isin(t))^−m =cos(−mt) + sin(−mt) * i bo jedynie to może nie być takie oczywiste

	cos(mt) − isin(mt)
(cos(t) + isin(t))−m = (cos(mt) + isin(mt))−1 *
	cos(mt) − isin(mt)

=

	cos(mt) − isin(mt)
=		= cos(−mt) + isin(−mt)
	cos2(mt) + sin2(mt)

Czyli prawda

aliska: z2 − 2cos(t) * z + 1 = 0 Δ = 4cos2(t) − 4 = − 4sin2(t) = (2sin(t) * i)2 Nie rozumiem pierwszych obliczeń i zapisów. Skąd to równanie kwadratowe, a następnie (2sin(t) * i)2 ten nawias?

Patrycjusz: z+z⁻¹=2cos(t)

	1
z+		=2cos(t) / *z
	z

z²+1=2cos(t)*z /−2cos(t)*z z²−2cos(t)*z+1 Dalej Δ=4cos²(t)−4=−4sin²(t) ponieważ: sin²(t)+cos²(t)=1 cos²(t)=1−sin²(t) podstawiamy: 4cos²(t)−4=4*(1−sin²(t))−4=4−4sin²(t)−4=−4sin²(t) Dalej: Wiemy że: i²=(−1) (2sin(t)*i)²=(2sin(t) * i) * (2sin(t) * i)=2sin(t) * i * 2sin(t) * i= =4sin²(t) * (−1)=−4sin²(t)