f. kwadratowa Bartek: Dana jest funkcja f(x)=mx²+mx−1. Wyznaczyć wszystkie wartości m∊R, dla których: a) funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne; b) zbiorem wartości funkcji f jest przedział <−3,+∞)

Michał: sokol@owski.pl ( gg: 165 055 ) a) po pierwsze musimy przeanalizować przypadek, dla którego ta funkcja staje się liniową, czyli dla m=0. Wówczas otrzymujemy wzór: f(x) = −1, a zatem mamy już pierwszą wartość parametru m, dla której otrzymujemy funkcję stałą i do tego o stałej wartości ujemnej −1. Dalej: jeśli m≠0, wówczas mamy do czynienia z funkcją kwadratową, a żeby taka miała tylko wartości ujemne, to po pierwsze ramiona muszą być skierowane w dół, czyli współczynnik przy x² musi być ujemny, a w naszym wypadku ten współczynnik wynosi: m; a po drugie wyróżnik (delta) musi być ujemny ( Δ < 0 ), by parabola czasem nie przecięła ani nawet nie dotknęła osi argumentów. Mamy zatem warunek, by m<0 i Δ<0. Rozpiszmy tę deltę: Δ = b² − 4ac = m² − 4*m*(−1) = m² +4m = m ( m+4 ) < 0 Otrzymaliśmy nierówność kwadratową, którą na nasze szczęście udało się od razu zapisać w postaci iloczynowej, która na tacy daje nam miejsca zerowe: m=0 lub m=(−4). No to skoro interesują nas "minusy", to rozwiązanie w/w nierówności przedstawia się następująco: m ∊ ( −4 ; 0 ). Zbierając wszystkie skargi i wnioski do kupy otrzymujemy warunek, aby: m ∊ ( −4 ; 0 >. b) aby nasz funkcja miała przedział wartości taki, jak podany, to rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem naszej funkcji, czyli q, musi wynieść (−3), a nasze m ( będące − przypominam − m.in. współczynnikiem przy x² ) musi być dodatnie, aby ramiona były skierowane do góry, co nakazuje nam zadany zbiór wartości. Ułóżmy zatem równanie:

	−Δ
q =		= (−3)
	4a

No to rozwiążmy to badziewie:

− m ( m+4 )
	= (−3) , co po skróceniu daje: m+4 = 12, a zatem: m = 8 ( dodatnie ? Ok !
4*m

) No to już ! m = 8.