wielomian Radek: Suma wszystkich pierwiastków wielomianu W(x)=x³+ax²+x+c jest równa 6. Znajdź współczynniki a i c wiedząc że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian V(x)=x ? Proszę o wytłumaczenie

Radek: ?

Mila: Jeżeli w(x) jest podzielny prze x, to oznacza, że 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu, ⇔ c=0 w(x)=x³+ax²+x x*(x²+ax+1)=0 dalej już potrafisz?

Janek191: W(x) = x³ + a x² + x + c Jeżeli W (x) jest podzielny przez V(x) = x , to znaczy , że można go przedstawić jako iloczyn V(x) i wielomianu stopnia drugiego, zatem miejscem zerowym W(x) jest 0. W(0) = 0 czyli 0³ + a*0² + 0 + c = c = 0 c = 0 Mamy zatem W(x) = x³ + a x² + x + 0 = x*( x² + a x + 1) Suma pierwiastków równania x² + a x + 1 = 0 jest równa 6 , więc z wzorów Viete'a mamy

	a
x1 + x2 = −		= − a = 6 ⇒ a = − 6
	1

Odp. a = − 6 , c = 0 ================= spr. W(x) = x³ − 6 x² + x = x*( x² − 6 x + 1) x₁ = 0 x² − 6 x + 1 = 0 Δ = (−6)² − 4*1*1 = 32 = 16*2 √Δ = 4 √2

	6 − 4√2
x2 =		= 3 − 2 √2
	2

	6 + 4√2
x3 =		= 3 + 2 √2
	2

więc x₁ + x₂ + x₃ = 0 + 3 − 2√2 + 3 + 2√2 = 6

Radek: Vzory Vieta? Skąd wiadomo, że on ma dwa pierwiastki a nie 3 ?

Mila: Równanie drugiego stopnia nie może mieć 3 pierwiastków.

Radek: Ale to jest równanie stopnia 3 bo x³ mam ?

Janek191: Równanie 3 stopnia ma 3 pierwiastki : x₁, x₂, x₃ , a równanie 2 stopnia ma dwa pierwiastki: x₂ i x₃

Mila: Przecież ma 3 pierwiastki.

Radek: a no tak bo x wyciągnięty przed nawias

Radek: Znajdź wszystkie takie liczby niewymierne a takie, że reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x³−4x²+x+4 przez dwumian x+a jest równa a ? Od czego zacząć ? Ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych więc nie mogę go podzielić

Saizou : z tw. o reszcie mamy że W(−a)=a i trzeba to wyliczyć i koniec zadanka

Radek: −a³−4a²−a+4=a −a³−4a²−2a+4=0 ?

Saizou : tak i trzeba to skończyć teraz, czyli wyliczyć a

Radek: Ale czemu korzystałeś z tego twierdzenia ?

Saizou : Bo tak najprościej

Radek: Super wytłumaczenie

Saizou : tak samo mamy gdy np. reszta z dzielenia wielomianu W(x)=..... przez wielomian P(x)=x−3 wynosi 4(...) czyli byś miał że W(3)=4

Radek: Ale tam nie mam podane ile wynosi reszta z dzielenia przez ten dwumian