Rozwiąż nierówność Neko:

x4+x2+10x
	>0
sin2πx−1

Okay, wiem że górę można przedstawić do postaci : x(x+2)(x²−2x+5) Teraz dół, na pewno sin²πx−1≠0 sin²πx≠1 I co teraz z tą dziedziną i równaniem?

wredulus_pospolitus: jak to co

	π
sin2πx ≠ 1 <=> πx ≠		+ kπ <=> x ≠ ....
	2

Neko: dzielimy przez π i

	1
x≠		+ k?
	2

wredulus_pospolitus: dokładnie pamiętaj −> jakiego znaku jest mianownik ?

Neko:

	1
Większego od zera, czyli dziedzina musi być różna od wielokrotności liczby		, tak?
	2

Neko: Ale nie, różnego od zera...

Neko: hm?

Garth: Moge sie mylic, ale: Mamy sin²πx −1 sin²(w) ∊ <0, 1>, przesuwajac o 1 w dól : sin²(w) −1 ∊ <−1, 0>

Neko: Oo fajnie, teraz jak się mam zabrać za nierówność? Górną część wiem jak tylko jak połączyć to z dołem?

Garth: Ja nigdy czegos takiego nie rozwiazywalem, wiec Ci nie powiem, ale tez chetnie sie dowiem.

Garth: Up

Neko: Bo jestem ciekawy, zresztą chce umieć przed kołem xD

Garth: W sensie − kolokwium? Czy to szkola srednia? Bo jesli to drugie to jestem w dosc kiepskim polozeniu.

Neko: Kolokwium, studia 1 semestru, przedmiot : matematyka elementarna. Nie miałem jeszcze tego jak to liczyć, ale widzę przykłady, więc wole się upewnić

Garth: Up, czy nie znajdzie sie ktos, kto umialby rozwiazac te nierownosc?

PW: Mianownik jest ujemny dla wszystkich x, dla których nie jest zerem: dla wszystkich u∊R |sinu|≤1, a więc sin²u ≤ 1, czyli sin²u − 1 ≤ 0. W szczególności dla u=πx sin²πx − 1 ≤ 0. Tym πx tylko straszą, żeby było trudniej wyznaczyć dziedzinę. Zaproponuję więc coś nietypowego − rozwiązać nie wyznaczając dziedziny, a ze zbioru "kandydatów na rozwiązania" wyrzuci\ć te x, dla których sin²πx=1. Naszym zadaniem jest rozwiązać nierówność, a nie ustalić na wstępie jej dziedzinę − tak więc będzie praktyczniej może.

Garth: x(x + 2)(sin²πx − 1) < 0?

Garth: Przypuszczam, ze zle, a jesli nie, to i tak nie wiem jak sie zabrac za rysowanie takiego wykresu.

PW:

x(x+2)
	>0, x∊D
sin2πx−1

Dla wszystkich x∊D mianownik jest ujemny, a więc można pomnożyć zmieniając nierówność na przeciwną: x(x+2) <0, x∊D. Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie x∊(−2,0), dla których sin²πx≠1 − jakie to x?

Garth: Rozwiazanie:

	3		1
x∊(−2,0)\{−		, −		}, ale nie rozumiem, dlaczego tak po prostu sie pozbywamy tego
	2		2

mianownika, tzn. mnozymy przez mianownik, a nie przez mianownik podniesiony do kwadratu...

Garth: Co innego, gdyby byla to rownosc − wtedy bylo by to dla mnie zrozumiale − wystarczylo by wyznaczyc dziedzine i zapomniec o mianowniku, ale tu mamy nierownosc...

PW: Bo wiemy, że w zbiorze D (którego nie znamy, ale to nic nie szkodzi) mianownik jest ujemny − mnożenie przez liczbę ujemną jest dopuszczalne, tylko trzeba zmienić nierówność na przeciwną.

Garth: A wiec mozemy tak pomnozyc i "zapomniec" o mianowniku, jezeli wiemy na pewno, czy przyjmuje wartosci ujemne czy tez nieujemne? Np. :

3−9x
	> 0 ⇔ (3−9x) < 0
−3

3−9x
	> 0 ⇔ (3−9x) > 0
3

Lub tez inaczej − jezeli nie wiemy, jakie wartosci przyjmuje mianownik, lub tez wiemy, ze przyjmuje i dodatnie i ujemne, wowczas musimy pomnozyc cale wyrazenie [nierownosc] przez kwadrat mianownika?

PW: Ależ w tym zadaniu wiemy, jakie wartości przyjmuje mianownik − ujemne. Te x, dla których przyjmuje inne wartości (to znaczy 0) − nie należą do dziedziny, Pozwolę sobie na komentarz − jest to piękne zadanie, właśnie dla studenta. Pokazuje jak przeszkadzają w pewnych wypadkach wpojone w szkole schematy. Mówi się uczniowi − koniecznie na początku ustal dziedzinę. Tak naprawdę nie jest to konieczne, ale większość zapomina sprawdzić, czy otrzymane liczby − "kandydatki na rozwiązanie" − rzeczywiście tymi rozwiązaniami są. Ze względów dydaktycznych wpaja się więc uczniom "konieczność". Mówi się uczniowi − nie mnóż przez mianownik, bo nie wiesz jaki ma znak. Niektórzy nauczyciele na wszelki wypadek wpajają: mnóż przez kwadrat mianownika. Zastępuje to myślenie, nawet wtedy gdy znak mianownika jest oczywisty, jak w omawianym zadaniu.

Garth: Zgadza sie, wiemy jakie tu wartosci przyjmuje mianownik, pytalem bardziej ogolnie i dziekuje za pomoc. Naprawde ciekawe zadanie.