trygonometria pytanko: oblicz wartość: arc tg(2 − √3)

PW:

	π
2−√3 to tg15°, czyli 2−√3=tg
	12

pytanko:

	π
można jakoś rozpisać arc tg(2 − √3) zeby wyszlo ze to jest		czy to trzeba poprostu
	12

zauważyć ?

PW: Nie ma co "rozpisywać", to wynika z definicji funkcji odwrotnej:

	π
jeśli tg:		→ 2−√3.
	12

	π
to arctg: 2−√3 →
	12

mutarexi:

	π		π
a skąd wiesz że akurat		ma taka wartość a nie np.		?
	12		15

Skąd Ci się ta liczba wzieła ?

PW: Znam tę liczbę osobiście. A Ty możesz sprawdzić w tablicach, jest taka tabelka wartości dokładnych dla niektórych kątów. Wyliczenie; sin2α = 2sinαcosα sin30° = 2sin15°cos15°

	1
(1)		= 2sin15°cos15°
	2

	1
(tylko nie pytaj skąd wiem, że sin30°=		),
	2

a ze wzoru sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(30°+15°)=sin30°cos15°+cos30°sin15°

	√2		1		√3
		=		cos15°+		sin15°
	2		2		2

√2 = cos15°+√3sin15°, stąd po podniesieniu do kwadratu (2) 2 = cos²15°+2√3sin15°cos15°+3sin²15° Podstawlenie (1) do (2) daje

	√3
2 = cos215°+		+3sin215°
	2

i po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej 2 = √3 + 4sin²15°

	2−√3
sin215°=		,
	4

	2+√3
skąd cos215° =		(to znowu z jedynki tryg.).
	4

Iloraz

	sin215°		2−√3		4
		= tg215° =		•		=
	cos215°		4		2+√3

	2−√3		(2−√3)(2−√3)
=		=		= (2−√3)2,
	2+√3		(2+√3)(2−√3)

skąd tg15°)=2−√3

mutarexi: ok, thx teraz wszystko jest jasne i przejrzyste