Wyznacz dziedzinę funkcje cyklometryczne PATELA: wyznacz dziedzinę tylko pomalutku proszę bez skrótów myślowych, dziękuje. f(x)=√arcctg(arcsin(x²−4x+3))

PW: Pierwszą funkcją ("najbardziej wewnętrzną") w tym złożeniu jest g(u)=arcsinu. Jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus, jest więc określona na zbiorze wartości funkcji sinus. Zbiór wartości funkcji sinus to przedział [−1, 1]. u∊ [−1, 1] ⇔ x²−4x+3 ∊ [−1, 1] ⇔ (x−1)(x−3) ∊ [−1, 1]. Minimum funkcji u(x) = (x−1)(x−3) jet równe u(2)=−1, a więc nierówność −1 ≤ u(x) jet spełniona dla wszystkich x. Tu warto narysować wykres funkcji u(x). Nierówność u(x) ≤ 1: x⁻4x+3 ≤ 1 ⇔x²−4x+2 ≤ 0 ⇔ x ∊ [2−√2, 2+√2].

	π
Dla takich x istnieją wartości arcsin(x2−4x+3) i są one liczbami z przedziału [−		,
	2

	π
		]
	2

Następną funkcją działającą w rozpatrywanym złożeniu jest arcctg(g(u), a więc g(u) mogą być dowolne (dziedziną funkcji arcctg jest cały zbiór liczb rzeczywistych). Ostatnią funkcją w złożeniu jest pierwiastek, z tego powodu musimy ograniczyć się do takich v, dla których arcctgv ≥ 0, czyli v≥0. Należy zatem uwzględnić tylko takie x, dla których arcsin(x²−4x+3) ≥ 0, czyli x ∊ [2−√2, 1]∪[3, 2+√2,] (znowu patrz rysunek paraboli). Ale Ty to sprawdź, pisałem "on line" bez rozwiązania na kartce i rysowania. a tak łatwo o błędy.

PATELA: no jesteś blisko bo w odpowiedziach jest x∊[2−√2,2+√2]

PW: Sprawdziłaś(eś) moje rozumowanie i rachunki, czy w odpowiedziach? Dla x=2 mamy: x²−4x+3=4−8+3=−1

	π
arcsin(−1)=−		.
	2

	π
Czy arcctg(−		) jest liczbą dodatnią? Bo trzeba z tego policzyć pierwiastek.
	2