Dwa zadania z geometrii analitycznej Kamusia: Cześć, mam problem z dwoma zadaniami. Wszelkie wskazówki mile widziane. Zad. 1: Dany jest okrąg o równaniu x²−8x+y²=0. Wyznacz zbiór środków wszystkich okręgów stycznych wewnętrznie do danego okręgu i jednocześnie stycznych do osi OX. Zad. 2: Dany jest okrąg o równaniu x²−4x+y²−14y=11 i prosta l o równaniu y=mx+m. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

MQ: Zad. 1. x²−8x+y²=0 ⇒ (x−4)²+y²=4² czyli okrąg o środku S(4,0) i promieniu r=4 Okręgi styczne wewnętrznie do danego mają odległość środków równą różnicy promieni. Okręgi styczne do osi OX mają promień równy wsp. y−kowej środka okręgu −− z dokładnością do znaku oczywiście. Mamy więc. (x_s−4)²+(y_s−0)²=(4−|y_s|)² Dla prostoty liczenia wziąłem kwadraty odległości. Po wyliczeniu wychodzi: x²−8x=−8|y| i rozpatrujesz dwa przypadki: y>0 i y<0

MQ: Zad. 2. x²−4x+y²−14y=11 ⇒ (x−2)²+(y−7)²=8² równanie y=mx+m to równanie pęku prostych przechodzących przez punkt O(−1,0), bo: mx+m=m(x+1) Wystarczy teraz udowodnić, że punkt O leży wewnątrz okręgu, czyli, że jego odległość od środka okręgu jest mniejsza od promienia r=8 (−1−2)²+(0−7)²=3³+7²=9+49=58<8²=64 Czyli się zgadza − leży wewnątrz, więc wszystkie proste przechodzące przez ten punkt muszą być cięciwmi tego okręgu.

Kamusia: Padam do stóp!