ciagi zadanie: 1. Obliczyc 1+2+4+7+8+10+13+14+16+19+...+1003, gdzie roznice miedzy kolejnymi skladnikami tworza ciag okresowy 1,2,3,1,2,3,1,2,3,... a₁=1 a_n=1003 a co z tym r? jak to podstawic do wzoru na sume?

zadanie: moge prosic o pomoc ?

Mila: Może podziel na podciągi: 2,8,14,20, .... ostatni ustal 1, 4,7,10,13,16,19, .....ostatni ustal

Gustlik: 1+2+4+7+8+10+13+14+16+19+...+1003 Dzielimy na 3 podciągi arytmetyczne: a_n=1, 7, 13, ... b_n=2, 8, 14, ... c_n=4, 10, 16, ... Wyprowadzamy wzory tych podciągów i sprawdzamy który podciąg daje ostatni wyraz 1003: a_n=a₁+(n−1)r=1+(n−1)*6=1+6n−6=6n−5 b_n=b₁+(n−1)r=2+(n−1)*6=2+6n−6=6n−4 c_n=c₁+(n−1)r=4+(n−1)*6=4+6n−6=6n−2 Prawdopodobnie 1003 to ostatni wyraz podciągu a_n, bo tylko ten podciąg ma wyrazy nieparzyste, sprawdzam ,który to wyraz: 6n−5=1003 6n=1008 /:6 n=168 Jest to 168 wyraz. Zgodnie z regułą poprzedzają go takie wyrazy: 998, 1000, 1003, bo wyrazy poprzwedzające nieparzyste są mniejsze o 3, a jeszcze wcześniejsze o 2 (czyli 0 5 od nieparzystych) Czyli 1000 to wyraz ciagu c_n, a 998 to wyraz ciągu b_n, sprawdzamy tylko, który to wyraz: 6n−2=1000 6n=1002 /:6 n=167 6n−4=998 6n=1002 n=167 Podciąg a_n ma wyraz a₁=1, a₁₆₈=1003. Podciąg b_n ma wyraz b₂=1, b₁₆₇=998. Podciąg c_n ma wyraz c₄=1, c₁₆₇=1000. Liczę sumy tych podciągów

	a1+a168		1+1003
Sa=Sa168=		*168=		*168=84336
	2		2

	b1+b167		2+998
Sb=Sb167=		*167=		*167=83500
	2		2

	c1+c167		4+1000
Sc=Sc167=		*167=		*167=83834
	2		2

Suma całego ciągu: S=S_a+S_b+S_c=84336+83500+83834=251670

Mila: Witaj Gustliku. Cieszę się ,że tu wpadłeś. Zgadza się. U mnie to samo wyszło. a₁=2, r=6 a_n=998 (a_n=1003−3−2=998), n=167 S₁₆₇=83500 b₁=1, b_n=1003, n=335 S₃₃₅=168170 S=168170+83500=251670

Gustlik: Mila, troszkę zrobiłaś prościej, bo zauwazyłaś, że moje podciągi a_n i c_n to faktycznie tworzą jeden podciąg arytmetyczny 1, 4, 7, ... czyli o wyrazie a₁=1 i r=3, ale sposób ten sam. Pozdrawiam.

Mila: Twój sposób jest bardziej uniwersalny, nie zawsze może być możliwe moje rozwiązanie.

Gustlik: Ja po prostu wziąłem kolejne wyrazy z okresu.

Saizou : można też zauważyć że a₁=1+2+4=7 a₂=7+8+10=25 a₃=13+14+16=43 ..... zgodnie z regułą tworzenia się tych liczb, zauważam że a_n=997+998+1000=2995 i pozostaje 1003 r=18 2995=7+(n−1)*18 n=167

	(7+2995)167
S167+'1003'=		+1003=251 670
	2

zadanie: dziekuje

zadanie: a skad mam wiedziec, ze takie podciagi akurat mam utworzyc? i co to oznacza, ze roznice tworza ciag okresowy 1,2,3,....?

zadanie: obliczyc

	1		1		1		1		1		1
1+		+		+		+		+		+...+		, gdzie w mianownikach znajduja sie
	2		3		4		8		9		2187

potegi dwojki i trojki ustawione rosnaco. najpierw potegi dwojki

	1
tworza ciag geometryczny o ilorazie q=
	2

	1		1−(12)11		2047
S=		*		=
	2		12		2048

potegi trojki

	1
q=
	3

	1		1−(13)7		1043
S=		*		=
	3		23		2187

	2047		1043
suma ciagu: 1+		+		dobrze?
	2048		2187

zadanie: ?

Mila: 1) do 12:52 Różnice pomiędzy wyrazem następnym a poprzednim: 1+2+4+7+8+10+13+14+16+19+...+1003, 2−1=1, 4−2=2 7−4=3 8−7=1 10−8=2 13−10=3 itd skąd wiedzieć jakie podciągi? Podejrzewam, że mogą to być ciągi arytmetyczne i sprawdzam które wyrazy wybrac aby mieć ciąg arytmetyczny o różnicy np.3 i co zostaje, albo o różnicy 2 i czy zostają wyrazy które mogę zsumować. Ja wybrałam dwa podciągi, a Gustlik trzy. Sprawdź obydwa sposoby dokładnie, kombinuj inaczej wybrać. 2) za chwilę, ale chyba nie zgadza się.

Mila:

	1
Wypisz więcej wyrazów tej sumy, bo nie wiem, czy potęgi		są pojedyncze, potem dwa wyrazy
	3

	1
z potęgami liczby		.
	2

Mila: s₁=

	1093
s2=
	2187

zadanie:

	1		1		1		1		1		1		1		1		1
1+		+		+		+		+		+		+		+		+...+
	2		3		4		8		9		16		27		32		2187

wydaje mi sie, ze z tego wynika: poteg dwojki jest 11 poteg trojki 7 jakie bledy popelnilem w moich obliczeniach?

Mila:

	1
W S2 błąd rachunkowy, bo wzór dobry, ale skladniki z potęgą liczby (		) dlaczego tam są
	2

	1		1
dwa wyrazy obok siebie		i		a potem na przemian po jednym?
	4		8

Sprawdź treść.

zadanie: tak wlasnie jest w tresci ......., gdzie w mianownikach znajduja sie potegi dwojki i trojki ustawione rosnaco.

Mila: To jaki jest wg Ciebie przedostatni wyraz?

zadanie:

	1		1
wg mnie przedostatnim wyrazem jest		, czyli		dobrze?
	2048		211

zadanie:

	1
no bo jezeli sa one ustawione rosnaco i ostatnim wyrazem jest		no to przedostatnim
	2187

	1
jest		tak mi sie wydaje...
	2048

Basia: Milu moim zdaniem zadanie dobrze to napisał i dobrze interpretuje ale nie całkiem dobrze policzył

	1		1
to jest suma 1 i (potęg 12) ≥		i (potęg 13) ≥
	2187		2187

	1		1
czyli mamy 1+ ∑k=1,...,11		+ ∑m=1,...,6
	2k		3m

i dwa ciagi a₁ = ¹₂ q=¹₂ i S₁₁ b₁ = ¹₃ q=¹₃ i S₆ a do tego dodajemy 1 2¹¹ = 2048 2187 = 3⁶ Pozdrawiam

Basia: oczywiście 3⁷ i S₇

zadanie: dziekuje czyli w S₂ blad rachunkowy a w S₁ ?

Basia:

	1		1   1−   2048
S11 =		*		=
	2		1   1−   2

1		2047   2048		2047
	*		=
2		1   2		2048

	1		1   1−   2187
S7 =		*		=
	3		1   1−   3

1		2186   2187
	*		=
3		2   3

1		3		2186		1093
	*		*		=
3		2		2187		2187

	2047		1093
S = 1 +		+
	2048		2187

dalej nie liczę

zadanie: dziekuje

Mila:

	1
No to teraz jasne .Przedostatnia
	211

Ważne jest to,że 2^k≤2187, mianownik nie przekracza 2187.

	1
ak=
	211

a_k=a₁*q^k−1

1		1		1
	*(		)k−1=(		11
2		2		2

k=11 ( tu zresztą widać od razu, ale podpowiadam ogólną zasadę)

	1		1   1−( )11   2		2047
S11=		*		=
	2		1   1−   2		2048

	1
b1=
	3

	1
q=
	3

	1
bk=		)7
	3

k=7

	1		1   1−( )7   3		1   1−   2187		2187−1
S7=		*		=		=		=
	3		1   1−   3		2		2*2187

	1093
=
	2187

czyli tu już wszystko jasne(?)

Mila: Zdublowałyśmy się.

Eta:

Mila: Witaj Eto, jak zdrówko?

Eta: Na razie jeszcze jestem "uziemiona"

Mila: To szkoda, skutecznej i szybkiej rehabilitacji życzę.