granice bezradny: wyznacz granice danych ciągów: 1) lim n−> nieskończoność pierwiastek n'tego stopnia z 3ⁿ + 4ⁿ 2)lim n −> nieskończoności (n+2)ⁿ / (n+1)ⁿ 3) lim n −> nieskończoność (−1)ⁿ * n/ (n² + 2)

Krzysiek: skorzystaj z: 1) tw. o trzech ciągach 2) z liczby 'e' 3)z tw. o trzech ciągach

MQ: W 3) nawet tw. o 3 ciągach nie trzeba −− wystarczy licznik i mianownik podzielić przez n.

Krzysiek: Można też od razu podać wynik ale może 'bezradny' nie wie jak policzyć granicę typu

	(−1)n
	n

bo w sumie ta granica nie różni się od 3)

MQ: No jak? Ciąg ograniczony, o wyrazach ≠0 dzielony przez ciąg rosnący do ∞

Janek191: 1) b_n = ⁿ√3ⁿ + 4ⁿ a_n = ⁿ√4ⁿ = 4 i c_n = ⁿ√2*4ⁿ = 4*ⁿ√2 Mamy a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = 4 , lim c_n = 4*1 = 4 n→ ∞ n → ∞ więc na podstawie tw. o trzech ciagach lim b_n = 4 n →∞ ========= bo lim ⁿ√2 = 1 n → ∞

Janek191: 2)

	( n + 2)n		n + 2
an =		= (		)n =
	( n + 1)n		n + 1

	1 + 2n		( 1 + 2n)n
= (		)n =
	1 + 1n		( 1 + 1n)n

więc

	e2
lim an =		= e
	e

n → ∞ ===================