Znajdź wzór funkcji po przesunięciu o wektor u innej funkcji :) poker: Widziałam już odp. do tego zadania w necie, ale dla mnie to czarna magia. Czy może ktoś wytłumaczyć mi to łopatologicznie? Funkcja f określona jest wzorem x²+4x+5 f(x) = −−−−−−−−− x²+4x Wykres funkcji f przesunięto o wektor u=[p,0], otrzymując wykres funkcji g. Znajdź wzór funkcji g i współrzędne wektora u wiedząc, że wykres funkcji g jest symetryczny względem osi OY.

MQ:

	x2+4x+5		x2+4x+4+1		(x+2)2+1
f(x)=		=		=
	x2+4x		x2+4x+4−4		(x+2)2−4

Widać, że f(x) jest symetryczna wzgl. x=−2, więc żeby była symetryczna wzgl. x=0 (tzn. osi OY), trzeba ją przesunąć o wektor [2,0]. Funkcja g(x) będzie miała wtedy wzór:

	x2+1
g(x)=
	x2−4

pigor: ..., trochę sobie uproszczę wzór funkcji f np. tak :

	x2+4x+5		x(x+4)+5		x(x+4)		5
f(x)=		=		=		+		, czyli
	x2+4x		x(x+4)		x(x+4)		x(x+4)

	5
f(x)= 1+		i Df=R\{0,4} , a z warunków zadania
	x(x+4)

	5
u=[p,0]= ? − szukany wektor taki, że g(x)= f(x−p)−0= 1+		, czyli
	(x−p)(x−p+4)

	5
szukany wzór funkcji g (*) g(x)= 1+		i Dg=R\{p,p−4}
	(x−p)(x−p+4)

parzystej (jej wykres symetryczny względem osi OY), a więc takiej, że w D_g :

	5		5
g(−x)= g(x) ⇔ 1+		= 1+		⇔
	(−x−p)(−x−p+4)		(x−p)(x−p+4)

	1		1
⇔		=		⇔ (−x−p)(−x−p+4) = (x−p)(x−p+4) ⇔
	−x−p)(−x−p+4)		(x−p)(x−p+4)

⇔ (x+p)(x+p−4) = (x−p)(x−p+4) ⇔ x²+px−4x+px+p²−4p = x²−px+4x−px+p²−4p ⇔ ⇔ 4px−8x = 0 ⇔ 4p =8 ⇔ p=2 ,zatem u= [2,0] − szukany wektor, a stąd i z (*)

	5
g(x)=1+		i Dg= R\{2,2−4} ⇔ g(x)= 1+U{5}{x−2)(x+2) , czyli
	(x−2)(x−2+4)

	5		x2+1
g(x)=1+		=		,Dg=R\{2,−2} − szukany wzór g.
	x2−4		x2−4

Janek191:

	x2 + 4x + 5		x2 + 4x + 5
f(x) =		=
	x2 + 4x		x*( x + 4)

Funkcja f ma dwie asymptoty pionowe − są to proste o równaniach: x = − 4 i x = 0 Jeżeli po przesunięciu wykresu funkcji f o wektor → u = [ p ; 0 ] otrzymano wykres funkcji g symetryczny względem osi OY to znaczy, że

	0 − (−4)
p =		= 2
	2

czyli → u = [ 2; 0} oraz x' = x + 2 ⇒ x = x' − 2 y' = y = 0 ⇒ y = y' Wstawiam za x i za y do wzoru funkcji f :

( x' − 2)2 + 4*( x' − 2) + 5
	=
( x' − 2)2 + 4*( x' − 2)

	x'2 − 4 x' + 4 + 4 x' − 8 + 5
=		=
	x'2 − 4 x' + 4 + 4 x' − 8

	x'2 + 1
=
	x'2 − 4

Opuszczam primy i otrzymuję funkcję g

	x2 + 1		x2 + 1
g(x) =		=
	x2 − 4		( x + 2)*( x − 2)

============================================= Asymptoty pionowe funkcji g są prostymi o równaniach: x = − 2 i x = 2